Что такое параллелограмм
Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны: AB ∥ CD и BC ∥ AD. Он встречается в 8 классе почти в каждой задаче про четырёхугольники: в записи «ABCD — параллелограмм», в задачах на периметр, углы и диагонали.
Частные случаи параллелограмма: прямоугольник (все углы прямые), ромб (все стороны равны) и квадрат (и то и другое сразу). Всё, что верно для параллелограмма, верно и для них. Поэтому свойства, которые ты выучишь здесь, пригодятся в задачах про прямоугольник и ромб.
Вершины в названии идут по кругу: в параллелограмме ABCD стороны AB и CD противоположные, а AC и BD диагонали.
Свойства: стороны, углы и диагонали параллелограмма
Эти четыре свойства нужны почти в каждой задаче:
- Стороны. Противоположные стороны параллелограмма равны: AB = CD, BC = AD.
- Углы. Противоположные углы равны: ∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
- Соседние углы. Углы, прилежащие к одной стороне, в сумме дают 180°: ∠A + ∠B = 180°. Это следует из свойств параллельных прямых: при AD ∥ BC и секущей AB эти углы односторонние.
- Диагонали. Точкой пересечения они делятся пополам: AO = OC, BO = OD. Равными диагонали бывают только у прямоугольника.
Свойство про сторону и углы сразу решает задачи вроде «найдите все углы, если один равен 60°». Соседний угол равен 180° − 60° = 120°, а противоположные повторяют эти значения: 60°, 120°, 60°, 120°. Если один угол меньше другого на 20°, пиши x + (x + 20°) = 180°. Получается x = 80°, и углы равны 80° и 100°.
Ещё одно полезное свойство: биссектриса угла параллелограмма отсекает равнобедренный треугольник. Почему так, показано в разборе ниже.
Признаки параллелограмма
Свойства даны, когда уже известно, что фигура — параллелограмм. Признаки нужны, чтобы это доказать. Достаточно одного из трёх условий для четырёхугольника:
- Две противоположные стороны равны и параллельны.
- Противоположные стороны попарно равны.
- Диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
В задачах «докажите, что ABCD — параллелограмм» обычно проводят диагональ и доказывают равенство двух треугольников. Из него получают равные углы или стороны, а дальше подходит один из признаков. Если нужно вспомнить, как доказывать равенство, загляни в тему признаки равенства треугольников.
Если в условии даны отрезки на диагоналях, как OA = ⅓OM и OB = ⅔ON, проверяй третий признак: делятся ли диагонали точкой пересечения пополам.
Как найти периметр параллелограмма: разбор с биссектрисой
Периметр параллелограмма равен P = 2(a + b), где a и b — две смежные стороны. Складывать нужно две разные стороны, а потом удваивать сумму.
Задача. Биссектриса одного из углов параллелограмма делит сторону на отрезки 4 см и 12 см. Найди периметр. Рассмотри все варианты.
Решение. Пусть биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке H.
- Так как AH — биссектриса, ∠BAH = ∠HAD.
- AD ∥ BC, поэтому ∠HAD = ∠AHB как накрест лежащие углы.
- Значит, ∠BAH = ∠AHB, и треугольник ABH равнобедренный: AB = BH.
- Сторона BC разделена на два отрезка, и AB может равняться любому из них. Рассмотрим оба случая.
Случай 1: BH = 4, HC = 12. Тогда AB = 4, BC = 4 + 12 = 16, P = 2(4 + 16) = 40 см.
Случай 2: BH = 12, HC = 4. Тогда AB = 12, BC = 16, P = 2(12 + 16) = 56 см.
Ответ: 40 см или 56 см. Если в задании просят записать ответы через «<>» в порядке возрастания, получится 40<>56.
Где ошибаются чаще всего
- Считают диагонали равными. В обычном параллелограмме они разные. Равенство диагоналей — свойство прямоугольника.
- Думают, что диагональ делит угол пополам. Это верно только для ромба. В общем случае диагонали делятся пополам друг другом, а не углы.
- Находят только один вариант в задачах с биссектрисой. Отрезки 4 и 12 можно приписать стороне AB двумя способами, и ответов будет два. Всегда проверяй оба.
- Путают соседние и противоположные углы. Соседние дают в сумме 180°, противоположные равны. Если в задаче «один угол в 2 раза больше другого», это соседние углы: x + 2x = 180°, значит x = 60°.
- Забывают удвоить сумму сторон. Периметр — это 2(a + b), а не a + b.
Какие задания по параллелограмму присылают ученики
Чаще всего это поиск углов по одному данному, периметр по соотношению сторон или по биссектрисе, диагонали и периметры треугольников вокруг точки пересечения. Много и доказательств: признаки параллелограмма, равенство треугольников на рисунке. Встречаются задачи на ромб и прямоугольник. Для площади через сторону и высоту смотри тему площади фигур.
Найди похожее задание в списке выше и сравни ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй условие своего задания и получи решение с пояснениями по шагам.