Три признака равенства треугольников
Два треугольника равны, если их можно наложить друг на друга так, что они совпадут. Проверять наложением неудобно, поэтому есть признаки: достаточно убедиться, что равны три определённых элемента.
- Первый признак (сторона, угол, сторона). Если две стороны и угол между ними одного треугольника равны двум сторонам и углу между ними другого, треугольники равны.
- Второй признак (угол, сторона, угол). Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника равны стороне и двум прилежащим углам другого, треугольники равны.
- Третий признак (сторона, сторона, сторона). Если три стороны одного треугольника равны трём сторонам другого, треугольники равны.
Слова «угол между сторонами» и «прилежащие к стороне углы» нельзя пропускать. Именно в них прячутся ошибки.
Из равенства треугольников следует, что равны и все остальные соответствующие элементы: оставшиеся стороны, углы, периметры. На этом построено большинство задач: сначала доказываешь равенство, потом получаешь нужный отрезок или угол.
Признаки равенства прямоугольных треугольников
У прямоугольного треугольника один угол уже известен, он равен 90°, поэтому признаков для него нужно меньше элементов. Равны два прямоугольных треугольника, если равны:
- два катета (это первый признак, угол между катетами прямой);
- катет и прилежащий к нему острый угол (второй признак);
- гипотенуза и острый угол;
- гипотенуза и катет.
Первые два случая просто частные случаи общих признаков. Третий и четвёртый стоит запомнить отдельно: в четвёртом нет угла между равными сторонами, но для прямоугольных треугольников он всё равно работает. Для обычных треугольников «две стороны и угол не между ними» признаком не считается.
Как доказать равенство треугольников: разбор задачи
Задача. Отрезки AC и BD пересекаются в точке O, AC = BD = 12 см, OB = OC = 5 см, AB = 8 см. Докажите, что △AOB = △DOC, и найдите CD.
Шаг 1. Выпиши, что дано, и найди недостающее. Известно OB = OC. Нужна ещё пара равных элементов. Точка O лежит на AC, поэтому OA = AC − OC = 12 − 5 = 7 см. Она же лежит на BD, поэтому OD = BD − OB = 12 − 5 = 7 см. Значит, OA = OD.
Шаг 2. Найди угол. Углы AOB и DOC вертикальные, а вертикальные углы равны. Про них подробнее в теме смежные и вертикальные углы.
Шаг 3. Назови признак. В △AOB и △DOC: OA = OD, OB = OC, ∠AOB = ∠DOC. Угол лежит между равными сторонами, значит, треугольники равны по первому признаку.
Шаг 4. Сделай вывод. Против равных углов AOB и DOC лежат стороны AB и DC. Поэтому CD = AB = 8 см.
Вершины в записи равенства идут в порядке соответствия: A соответствует D, B соответствует C. Если перепутать порядок, вывод про CD получится неверным.
Где ошибаются чаще всего
- Угол не между сторонами. Две равные стороны и равный угол, который лежит не между ними, ещё не доказывают равенство. Найди угол именно между этими сторонами.
- Три равных угла вместо признака. Если равны только углы, треугольники могут быть разного размера. Такие треугольники подобны, это отдельная тема: подобие треугольников.
- Равенство «видно по рисунку». Рисунок не доказательство. Каждую пару равных элементов нужно получить из условия или из свойства: общая сторона, вертикальные углы, середина отрезка, равенство сторон в равнобедренном треугольнике.
- Пропущена общая сторона. В задачах про четырёхугольник с диагональю диагональ часто общая для двух треугольников. Например, в четырёхугольнике MNKP при MN = NK и MP = PK сторона NP общая, поэтому △MNP = △KNP по третьему признаку, и ∠K = ∠M.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это доказательства по рисунку: по первому признаку, с пересекающимися отрезками, общей стороной или равными углами. Встречаются задачи, где после доказательства нужно найти угол, сторону или периметр четырёхугольника. Есть задачи про равносторонний треугольник, квадраты и прямоугольные треугольники.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри, какой признак там выбран и почему. Если своего задания нет, сфотографируй его и получишь решение с полным ходом.