Что такое отрезок, луч, прямая и угол
Отрезок — часть прямой между двумя точками, включая сами точки. Эти точки называют концами отрезка. У отрезка есть длина. У прямой и луча длины нет: прямая бесконечна в обе стороны, а луч начинается в одной точке и бесконечен только в одну сторону.
Угол — фигура из двух лучей с общим началом. Общая точка называется вершиной, а сами лучи — сторонами. Угол обозначают тремя буквами, вершина стоит посередине: ∠ABC, вершина здесь B. Если рядом нет других углов с той же вершиной, хватит одной буквы: ∠B.
Углы делят по градусной мере:
- острый — меньше 90°;
- прямой — ровно 90°;
- тупой — больше 90°, но меньше 180°;
- развёрнутый — 180°, его стороны лежат на одной прямой и дополняют друг друга до неё.
Неразвёрнутый угол — любой угол, который меньше 180°. В условиях вроде «неразвёрнутый угол CAB и прямая AP» это слово просто запрещает рисовать стороны на одной прямой.
Измерение и сравнение отрезков и углов
Длину отрезка измеряют линейкой в сантиметрах и миллиметрах, величину угла — транспортиром в градусах. Равные отрезки имеют одинаковую длину, равные углы — одинаковую градусную меру. Чтобы сравнить два отрезка или два угла, их измеряют или накладывают друг на друга так, чтобы совпали концы отрезка или вершины и одна из сторон угла.
Два свойства нужны почти в каждой задаче:
- если точка C лежит на отрезке AB, то AB = AC + CB;
- если луч OC проходит внутри угла AOB, то ∠AOB = ∠AOC + ∠COB.
С откладыванием есть тонкость. На луче от его начала отрезок заданной длины можно отложить только одним способом. На прямой от точки A отрезок длиной 2 см можно отложить в обе стороны, поэтому подходящих точек C будет две.
Как решать задачи на вычисление отрезков и углов
Разберём задание: ∠ABD = 105°, луч BC проходит внутри этого угла, ∠ABC : ∠CBD = 3 : 4. Найти оба угла.
- Делаем чертёж: угол ABD и внутри него луч BC.
- Луч BC внутри угла, значит ∠ABC + ∠CBD = 105°.
- Отношение 3 : 4 значит, что на первый угол приходится 3 части, на второй — 4. Обозначим одну часть за x: ∠ABC = 3x, ∠CBD = 4x.
- Составляем уравнение: 3x + 4x = 105, откуда 7x = 105 и x = 15.
- Находим углы: ∠ABC = 3 × 15 = 45°, ∠CBD = 4 × 15 = 60°.
- Проверяем: 45° + 60° = 105°.
С отрезками схема та же. Пусть N лежит на отрезке MP, MP = 24 см, а NM вдвое больше NP. Обозначим NP = x, тогда NM = 2x. Так как MP = NM + NP, получаем 3x = 24, x = 8. Ответ: NP = 8 см, NM = 16 см.
Середина отрезка и биссектриса угла
Середина отрезка делит его на две равные части: если M — середина AB, то AM = MB = ½ AB. Биссектриса угла — луч из вершины, который делит угол пополам.
В задачах с серединами часто нужно найти расстояние между серединами двух частей. Пусть отрезок длины a разделён точкой на части x и y, где x + y = a. Расстояние между их серединами равно x/2 + y/2 = a/2. Оно не зависит от того, где стоит точка.
С биссектрисой в задаче на построение угла 78° и биссектрисы смежного с ним угла порядок такой. Смежный угол равен 180° − 78° = 102°, его биссектриса делит его на два угла по 51°. Подробнее о таких парах углов написано в теме смежные и вертикальные углы, а приёмы работы с линейкой, циркулем и транспортиром собраны в теме задачи на построение.
Где ошибаются чаще всего
- Не учитывают разные расположения точек. В задаче с OA = 12 см и OB = 9 см середины отрезков OA и OB удалены от O на 6 см и 4,5 см. Если O лежит между A и B, расстояние между серединами равно 6 + 4,5 = 10,5 см. Если O не лежит на отрезке AB, то есть A и B по одну сторону от O, оно равно 6 − 4,5 = 1,5 см.
- Делят целое на части отдельно. В отношении 3 : 4 нельзя делить 105° на 3 и на 4. Нужно ввести x, составить уравнение и найти его.
- Пропускают составные углы при подсчёте. Если из одной точки выходят n лучей и среди них нет развёрнутых углов, различных углов получается n × (n − 1) ÷ 2. Для четырёх лучей это 6 углов, а не 3.
- Читают не ту шкалу транспортира. Перед ответом оцени угол на глаз: острый угол не может получиться 120°, тупой — 40°. Если ответ противоречит чертежу, шкалу нужно перечитать.
Какие задания по теме присылают ученики
В списке выше собраны 175 заданий 7 класса: сложение и вычитание углов, подсчёт углов на рисунке, длины частей отрезка, середины отрезков, биссектрисы, построения с транспортиром, задачи с центром окружности и вопросы вроде «что такое градусная мера угла». У каждого задания есть полный ход решения.
Найди в списке задание с похожим условием и сравни свой ход с готовым. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с пояснениями. Когда углы и отрезки станут привычными, следующий шаг — сумма углов треугольника.