Что такое окружность и из чего она состоит
Окружность — это все точки плоскости, которые находятся на одном расстоянии от одной точки. Эта точка называется центром окружности, а расстояние до неё — радиусом. Точки на окружности лежат именно на линии. Всё, что внутри, уже круг.
Основные элементы:
- радиус — отрезок от центра до точки на окружности;
- хорда — отрезок, соединяющий две точки окружности;
- диаметр — хорда, проходящая через центр; он вдвое длиннее радиуса: d = 2r;
- дуга — часть окружности между двумя точками;
- касательная — прямая, у которой с окружностью одна общая точка;
- секущая — прямая, которая пересекает окружность в двух точках.
Длина окружности находится по формуле C = 2πr = πd. Подробнее о ней и о площади круга в теме длина окружности и площадь круга.
У окружности нет сторон и углов в обычном смысле. Фраза «сторона окружности» в задачах обычно означает сторону вписанного или описанного многоугольника.
Углы в окружности и отрезки хорд, касательных, секущих
Углы в окружности бывают трёх видов, и для каждого есть своё правило.
- Центральный угол имеет вершину в центре и равен дуге, на которую опирается.
- Вписанный угол имеет вершину на окружности и равен половине дуги, на которую опирается. Поэтому вписанный угол всегда вдвое меньше центрального с той же дугой. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.
- Угол между касательной и хордой тоже равен половине дуги внутри угла.
Ещё одно важное свойство: радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Отрезки двух касательных, проведённых из одной точки, равны.
Для отрезков есть три правила. Если хорды AB и CD пересекаются в точке E, то AE × EB = CE × ED. Если из точки P проведены две секущие, то PA × PB = PC × PD, где A, B и C, D — точки пересечения с окружностью. Если из точки P проведены касательная PT и секущая, пересекающая окружность в A и B, то PT² = PA × PB.
Много задач сводится к равнобедренному треугольнику: две его стороны — радиусы.
Вписанная и описанная окружность: треугольник и четырёхугольник
Окружность вписана в фигуру, если касается всех её сторон. Окружность описана около фигуры, если проходит через все её вершины. Путают это постоянно, поэтому сразу запомни: «вписанная» находится внутри фигуры, «описанная» снаружи.
Треугольник. Окружность можно вписать в любой треугольник и описать около любого. Центр вписанной лежит на пересечении биссектрис, центр описанной — на пересечении серединных перпендикуляров. У прямоугольного треугольника центр описанной окружности — середина гипотенузы, поэтому R равен половине гипотенузы.
Четырёхугольник — здесь условия обязательны:
- вписать окружность можно, если суммы противоположных сторон равны: AB + CD = BC + AD;
- описать окружность можно, если сумма противоположных углов равна 180°.
Из первого правила следует, что у трапеции, описанной около окружности, сумма оснований равна сумме боковых сторон. У прямоугольной трапеции высота равна диаметру вписанной окружности, то есть 2r.
Квадрат. Для стороны a радиус вписанной окружности r = a ÷ 2, а радиус описанной R = a√2 ÷ 2, то есть половина диагонали.
Как решить задачу: угол между касательной и хордой
Условие. Прямая касается окружности с центром O в точке K. Хорда KM образует с касательной угол 64°. Найди угол OMK.
- Проведи радиус OK в точку касания. Он перпендикулярен касательной, значит, угол между OK и касательной равен 90°.
- Хорда KM лежит внутри этого прямого угла и отсекает от него 64°. Остаётся угол OKM = 90° − 64° = 26°.
- Проведи радиус OM. Теперь OK = OM как радиусы, и треугольник OKM равнобедренный с основанием KM.
- Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому угол OMK = угол OKM = 26°.
Ответ: 26°.
Проверка: угол KOM при вершине равен 180° − 26° − 26° = 128°. Это центральный угол, а дуга KM равна 128°. Угол между касательной и хордой должен быть половиной дуги, то есть 64°. Всё сходится. Про сумму углов читай в теме сумма углов треугольника.
Где ошибаются чаще всего
- Путают центральный и вписанный угол. Если угол при центре равен 100°, то вписанный на ту же дугу равен 50°, а не 100° и не 160°. Вписанный всегда в два раза меньше.
- Путают вписанную и описанную окружность. Прочитай условие слово за словом. «Квадрат, описанный около окружности» значит, что окружность внутри квадрата и r = a ÷ 2. «Окружность, описанная около квадрата» значит, что вершины квадрата лежат на окружности и R равен половине диагонали.
- Берут диаметр вместо радиуса. В формулах C = 2πr и r = a ÷ 2 стоит радиус. Если в условии дан диаметр, сначала раздели его на 2.
- Применяют свойства вписанного четырёхугольника ко всякому. Сумма противоположных углов 180° верна только если около четырёхугольника описана окружность. У ромба и параллелограмма это выполняется не всегда: параллелограмм вписывается только если он прямоугольник.
- Забывают провести радиус. Радиус к точке касания и радиусы к концам хорды чаще всего открывают решение: появляются прямой угол и равнобедренный треугольник.
Какие задания по теме присылают ученики
На сайте больше 60 заданий по окружности. Чаще всего встречаются вписанные и центральные углы, вписанные четырёхугольники, касательная с хордой или секущей, пересекающиеся хорды, а также квадрат и трапеция с вписанной или описанной окружностью. Есть и задачи на отрезки, где нужно найти x.
Посмотри список выше: если найдёшь похожее задание, открой его и сравни ход решения со своим. Если нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага.