Формулы длины окружности и площади круга
Окружность — это линия, круг — вся фигура внутри неё. Длина считается у окружности, площадь у круга. Обе величины зависят от радиуса r (расстояние от центра до окружности) и числа π ≈ 3,14.
- Длина окружности: C = 2πr. Через диаметр: C = πd, потому что d = 2r.
- Площадь круга: S = πr². Через диаметр: S = πd² ÷ 4.
Число π показывает, сколько раз диаметр укладывается в длину окружности: C ÷ d = π для любой окружности. Эту идею проверяют в задании, где нужно измерить дома крышку или кружку ниткой и линейкой и поделить длину на диаметр. Получится число около 3,1, с погрешностью из-за неточного измерения.
Больше о самой окружности, хордах и касательных есть на странице Окружность.
Как найти площадь круга, если дана длина окружности, и наоборот
Самый частый вид задач: известна одна величина, нужна другая. Связующее звено всегда радиус.
Дана длина окружности, найти площадь круга. Сначала найди радиус: r = C ÷ (2π). Потом подставь в S = πr². Готовая формула: S = C² ÷ (4π).
Пример: длина окружности равна 8. Тогда r = 8 ÷ (2π) = 4/π, S = π × 16/π² = 16/π. Ответ оставляют дробью с π, если не сказано иначе.
Дана площадь круга, найти длину окружности. Из S = πr² получаем r = √(S ÷ π), потом C = 2πr.
Пример: площадь равна 49π. Тогда r² = 49, r = 7, C = 2π × 7 = 14π.
Если площадь дана в виде 144π, как в задании про закрашенный круг внутри большего, радиус видно сразу: r² = 144, r = 12.
Разбор задания: круг на координатной плоскости
Условие: найдите площадь круга с центром в точке B(3; 4), если его окружность проходит через начало координат.
- Радиус — это расстояние от центра до любой точки окружности. Начало координат O(0; 0) лежит на окружности, значит, r = BO.
- Из точки B опусти перпендикуляры на оси. Получится прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4, а BO будет гипотенузой.
- По теореме Пифагора: BO² = 3² + 4² = 25, значит, r = 5.
- Площадь: S = πr² = 25π.
Обрати внимание: корень извлекать не обязательно. Для площади нужен именно r², а он уже получился: 25. В задании с центром A(2; 3) так и выходит: r² = 4 + 9 = 13, S = 13π. Расстояния между точками подробнее разбираются в теме метод координат.
Кольцо, сектор и фигуры на клетчатой бумаге
Многие задания сводятся к вычитанию или к доле от площади круга.
- Кольцо между концентрическими окружностями с радиусами R и r: S = πR² − πr² = π(R² − r²). Для радиусов 3 и 4: π(16 − 9) = 7π.
- Сектор с центральным углом n°: S = πr² × n ÷ 360. Для r = 3 и n = 120°: 9π × ⅓ = 3π.
- Круг, описанный около квадрата. Его диаметр равен диагонали квадрата. У квадрата со стороной 1 диагональ √2, радиус √2/2, площадь π × ½ = π/2.
На клетчатой бумаге радиус считай по клеткам: от центра до окружности вдоль линии сетки. Если сторона клетки не равна 1, умножай длину на неё до возведения в квадрат. Если нужна площадь не одной фигуры, а составной, пригодится тема площади фигур.
Когда на рисунке два круга и спрашивают, во сколько раз один площадью больше другого, сравнивай квадраты радиусов. Радиус больше в 2 раза, значит, площадь больше в 4 раза.
Где ошибаются чаще всего
- Путают диаметр и радиус. В задании «диаметр равен 12» радиус равен 6, и S = 36π, а не 144π. Перед подстановкой в формулу проверь, что именно дано.
- Возводят в квадрат не то. Площадь — это π × r², а не (π × r)². Квадрат относится только к радиусу.
- Путают две формулы. 2πr — длина, πr² — площадь. Запомни по единицам: длина измеряется в см, площадь в см². Если в формуле получился квадрат, значит, это площадь.
- Лишний раз заменяют π на 3,14. Если в условии ответ «равен … π» или есть число вроде 144π, оставляй π в ответе. Приближённое значение нужно, только когда об этом просят.
- Теряют единицы измерения. Ответ «16» вместо «16 см²» могут не засчитать.
Какие задания присылают ученики
По этой теме чаще всего присылают площадь круга по радиусу или диаметру, площадь кольца, площадь сектора и задачи на клетчатой бумаге про два круга. Встречаются также круг на координатной плоскости, радиус по заданной площади и составные фигуры из дуг.
Найди своё задание в списке выше: у каждого есть полный ход решения. Если похожего нет, сфотографируй условие и отправь на сайт, чтобы получить решение по шагам. Для задач про площади многоугольников рядом пригодится тема многоугольники.