Как расположены прямые и плоскости в пространстве
На плоскости две прямые либо пересекаются, либо параллельны. В пространстве есть третий вариант, поэтому и появилась отдельная тема.
Две прямые в пространстве могут быть:
- пересекающимися: у них одна общая точка;
- параллельными: они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек;
- скрещивающимися: они не лежат в одной плоскости и не пересекаются.
Прямая и плоскость: прямая лежит в плоскости, пересекает её в одной точке или параллельна ей, то есть общих точек нет.
Две плоскости либо пересекаются по прямой, либо параллельны.
Пример со скрещивающимися прямыми. Точка P лежит вне плоскости трапеции ABCD. Прямая DC лежит в плоскости трапеции, а AP пересекает эту плоскость в точке A, которая на DC не лежит. Значит, AP и DC скрещиваются. Если в условии просят определить расположение прямых, сначала проверь, лежат ли они в одной плоскости. Для этого пригодятся аксиомы стереометрии.
Признаки и свойства параллельности
Всю тему держат несколько утверждений. Их стоит знать наизусть.
- Параллельность трёх прямых. Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны друг другу. Так же, как на плоскости, но здесь это отдельная теорема. Её используют, когда нужно доказать, что a ∥ c, а известно только a ∥ b и b ∥ c.
- Признак параллельности прямой и плоскости. Если прямая вне плоскости параллельна какой-нибудь прямой в этой плоскости, то она параллельна и самой плоскости.
- Признак параллельности плоскостей. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.
- Свойство прямой и плоскости. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает её, то линия пересечения параллельна этой прямой.
- Свойство параллельных плоскостей. Третья плоскость пересекает две параллельные плоскости по параллельным прямым. Отрезки параллельных прямых, заключённые между параллельными плоскостями, равны.
Почти в каждой задаче одно из этих утверждений нужно, чтобы получить пару параллельных прямых. Дальше обычно работает планиметрия: подобие треугольников, средняя линия или теорема о пропорциональных отрезках.
Разбор задачи: плоскость параллельна стороне треугольника
Условие. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллельная прямой AC, пересекает сторону AB в точке A₁, а сторону BC в точке C₁. Найди BC₁, если CC₁ = 20 см, A₁C₁ : AC = 3 : 7.
Шаг 1. Находим параллельные прямые. Плоскость параллельна AC и пересекает плоскость треугольника по прямой A₁C₁. По свойству прямой и плоскости A₁C₁ ∥ AC.
Шаг 2. Переходим к планиметрии. Треугольники BA₁C₁ и BAC подобны: угол B общий, а углы при параллельных прямых равны. Коэффициент подобия равен A₁C₁ : AC = 3 : 7, значит, BC₁ : BC = 3 : 7.
Шаг 3. Составляем уравнение. Пусть BC₁ = x. Тогда BC = x + 20, и x : (x + 20) = 3 : 7. Отсюда 7x = 3x + 60, 4x = 60, x = 15.
Проверка. BC = 35, а 15 : 35 = 3 : 7. Ответ: BC₁ = 15 см.
Обрати внимание на шаг 2: отношение 3 : 7 относится к BC₁ и всему BC, а не к BC₁ и CC₁. Эту путаницу делают чаще всего.
Где ошибаются чаще всего
- Не пересекаются, значит параллельны. В пространстве это неверно: прямые могут скрещиваться. Параллельными их делает ещё и условие, что они лежат в одной плоскости.
- Прямая параллельна плоскости, значит параллельна всем её прямым. Нет. Она параллельна только тем прямым плоскости, которые лежат в одной с ней плоскости. Остальные прямые могут быть скрещивающимися с ней.
- Одной пары параллельных прямых хватает для параллельных плоскостей. Нет. В признаке нужны две пересекающиеся прямые одной плоскости, параллельные двум прямым другой.
- Прямые в параллельных плоскостях параллельны. Не всегда: они могут скрещиваться. Параллельны только линии пересечения этих плоскостей с третьей плоскостью.
- Неверные пропорции. Перед подстановкой чисел выпиши, какие треугольники подобны и в каком порядке стоят вершины.
Какие задания присылают и как пользоваться страницей
Ученики 10 класса присылают задачи на подобие в пространстве: плоскость, параллельная стороне треугольника, или две параллельные плоскости и отрезки между ними. Много доказательств: например, что прямая через середины отрезков AB и AC параллельна плоскости, в которой лежат B и C. Ещё встречаются тестовые вопросы на аксиомы и на взаимное расположение прямых в параллелепипеде, а также задания на построение и на точки пересечения прямой с плоскостью. Для таких построений пригодятся сечения многогранников.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение по шагам.