Что такое многогранник и из чего он состоит
Многогранник — это тело, поверхность которого составлена из плоских многоугольников. Эти многоугольники называют гранями, их стороны — рёбрами, а точки, где сходятся рёбра, — вершинами многогранника. У прямоугольного параллелепипеда 6 граней, 12 рёбер и 8 вершин.
В школьных задачах встречаются несколько видов:
- призма — две равные грани-основания и боковые грани-параллелограммы;
- прямая призма (так же говорят «прямой многогранник» или «прямой параллелепипед») — боковые рёбра перпендикулярны основанию, а боковые грани — прямоугольники;
- пирамида — одно основание и боковые треугольные грани с общей вершиной;
- правильная пирамида — в основании правильный многоугольник, а высота падает в его центр;
- тетраэдр — треугольная пирамида, у правильного тетраэдра все четыре грани равносторонние треугольники;
- параллелепипед и куб — призмы, у которых в основании параллелограмм или квадрат.
Ещё два понятия из условий. Двугранный угол — угол между двумя гранями, которые встречаются у общего ребра. Если в условии сказано, что все двугранные углы многогранника прямые, значит, соседние грани перпендикулярны, и фигура собрана из прямоугольных брусков.
Формулы: площадь, объём и диагональ многогранника
Здесь основные формулы для задач 10–11 классов. Через a, b, c обозначены измерения прямоугольного параллелепипеда, через h — высота, через Sосн — площадь основания.
- Диагональ прямоугольного параллелепипеда: d² = a² + b² + c². Она получается двумя применениями теоремы Пифагора: сначала для диагонали основания, потом для самой диагонали.
- Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда: S = 2(ab + bc + ac).
- Площадь боковой поверхности прямой призмы: Sбок = P × h, где P — периметр основания.
- Площадь боковой поверхности правильной пирамиды: Sбок = ½ × P × l, где l — апофема, то есть высота боковой грани.
- Объём призмы: V = Sосн × h. Объём пирамиды: V = ⅓ × Sосн × h.
Площадь основания каждый раз приходится искать отдельно. Формулы для ромба, правильного шестиугольника и прямоугольного треугольника собраны в теме площади фигур. Для выпуклого многогранника ещё верна формула Эйлера: В − Р + Г = 2, где В — число вершин, Р — рёбер, Г — граней.
Как найти площадь поверхности многогранника, изображённого на рисунке
Это самое частое задание по теме: на рисунке многогранник, все двугранные углы прямые, нужно найти площадь его поверхности. Разберём пример с другими числами.
Задача. Из прямоугольного параллелепипеда 6 × 4 × 3 вырезали угловой брус 2 × 2 × 3 на всю высоту. Найди площадь поверхности получившегося многогранника.
- Посмотри на фигуру сверху. Вместо прямоугольника 6 × 4 получилась Г-образная фигура: из него вырезан квадрат 2 × 2.
- Найди площадь верха: 6 × 4 − 2 × 2 = 20. Низ такой же, вместе 40.
- Боковая поверхность — это периметр фигуры сверху, умноженный на высоту. Периметр Г-образной фигуры равен периметру исходного прямоугольника, то есть 2 × (6 + 4) = 20: вырезанный угол срезает с двух сторон по 2, но добавляет две стороны по 2.
- Боковая поверхность: 20 × 3 = 60.
- Сложи: 40 + 60 = 100.
Ответ: 100. Проверить можно по-другому: у исходного параллелепипеда S = 2(24 + 18 + 12) = 108, а вырез убрал сверху и снизу по 4 единицы площади, боковая поверхность не изменилась: 108 − 8 = 100.
Этот приём работает, если вырез идёт на всю высоту. Если вырез неглубокий, как ступенька, верх и низ нужно считать отдельно. Для таких фигур полезно знать, как строятся сечения многогранников: они помогают мысленно разрезать сложное тело на простые.
Где ошибаются чаще всего
Апофему путают с боковым ребром. У правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания a = 6 и высотой 4 апофема равна √(4² + 3²) = 5, потому что катеты — высота и половина стороны основания. Боковое ребро другое: √(4² + (3√2)²) = √34, там второй катет — половина диагонали основания.
Забывают найти сторону основания. Для призмы с ромбом в основании, диагонали 6 и 8, боковое ребро 10, сначала находят сторону ромба: √(3² + 4²) = 5. Затем S = 2 × (6 × 8 ÷ 2) + 4 × 5 × 10 = 48 + 200 = 248.
Считают лишние грани на рисунке. В многограннике с вырезом нужно учитывать и внутренние стенки выреза, а закрытые места склейки не входят в поверхность.
Путают площадь поверхности и объём. Площадь измеряется в квадратных единицах (см²), объём — в кубических (см³). Если в ответе получилась не та размерность, значит, взята не та формула.
Какие задания по многогранникам присылают ученики
Чаще всего присылают площадь поверхности многогранника по рисунку, площадь боковой и полной поверхности призмы, задачи на правильную пирамиду и тетраэдр, диагональ параллелепипеда, углы между ребром и плоскостью. Встречаются и задачи про кратчайший путь по коробке, и чертёж куба с подписанными вершинами.
Найди похожее задание в списке выше и сравни ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получишь решение по шагам. Для задач на перпендикулярность пригодится тема перпендикулярность в пространстве, а для вычисления объёма — объёмы тел.