Что такое сечение многогранников
Сечение — многоугольник, по которому секущая плоскость пересекает многогранник. Его стороны — отрезки, по которым плоскость режет грани. Вершины лежат на рёбрах многогранника.
В 10 классе сечения встречаются в каждой теме про куб, параллелепипед, призму, тетраэдр и пирамиду. Чаще всего плоскость задают тремя точками, реже точкой и параллельностью другой плоскости. Задача бывает двух видов: только построить сечение или ещё найти его периметр, площадь, определить вид многоугольника.
Построение сечений многогранников: правила и метод следов
Секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани по прямой. Эту прямую называют следом. Часть следа внутри грани и есть сторона сечения.
Правила, на которых держится любое построение:
- Если две точки сечения лежат в одной грани, соединяй их отрезком. Это сторона сечения.
- Если общей грани у точек нет, не соединяй их: отрезок пройдёт внутри многогранника. Сначала найди новые точки.
- В двух параллельных гранях секущая плоскость даёт параллельные отрезки. Для куба и параллелепипеда это главный помощник, он опирается на параллельность в пространстве.
- Если сторон не хватает, продли прямую, проходящую через две точки в одной грани, до пересечения с ребром или с плоскостью другой грани. Точка пересечения лежит на следе, и от неё можно строить дальше.
Всё это следует из аксиом стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость, а две плоскости пересекаются по прямой.
Как построить сечение куба плоскостью через три точки
Возьмём куб ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 6. Точка M лежит на ребре AB, AM = 2. Точка N лежит на ребре BB₁, BN = 3. Точка P лежит на ребре CC₁, CP = 5. Нужно построить сечение плоскостью MNP.
- M и N лежат в грани ABB₁A₁. Соединяем, получаем сторону MN.
- N и P лежат в грани BCC₁B₁. Соединяем, получаем сторону NP.
- У M и P общей грани нет, поэтому не соединяем. Грань DCC₁D₁ параллельна грани ABB₁A₁. Значит, в ней сторона сечения параллельна MN. Проводим через P прямую параллельно MN до пересечения с ребром DD₁, получаем точку R.
- Грань ADD₁A₁ параллельна грани BCC₁B₁. Проводим через R прямую параллельно NP до пересечения с ребром AD, получаем точку Q.
- Q и M лежат в грани ABCD. Соединяем, получаем сторону QM.
Сечение — пятиугольник MNPRQ. Видимые стороны рисуй сплошной линией, скрытые за гранями — штрихом. Если посчитать, получится DR = 0,5 и AQ = 4,5, обе точки действительно лежат на рёбрах.
Какие сечения бывают у куба, тетраэдра и пирамиды
Число сторон сечения не больше числа граней, которые пересекает плоскость. У тетраэдра четыре грани, поэтому его сечение — треугольник или четырёхугольник. Сечение куба и параллелепипеда может быть треугольником, четырёхугольником, пятиугольником или шестиугольником.
Если плоскость проходит через точку P на ребре AB тетраэдра DABC параллельно грани DBC, она пересекает рёбра AC и AD тоже параллельно сторонам грани. Получается треугольник, подобный DBC (см. подобие треугольников).
После построения сечение часто нужно посчитать. Пример: площадь грани куба равна 4, найти периметр сечения плоскостью A₁DC₁. Ребро куба 2. Каждая сторона треугольника A₁DC₁ — диагональ грани, то есть 2√2 (по теореме Пифагора). Периметр равен 3 × 2√2 = 6√2.
Где ошибаются чаще всего
- Соединяют точки из разных граней. Отрезок между такими точками идёт через внутреннюю часть многогранника и не может быть стороной сечения. Сначала продли следы и найди точки на рёбрах.
- Проводят параллельные «на глаз». Параллельными в сечении оказываются только отрезки в параллельных гранях. В соседних гранях они пересекаются или скрещиваются.
- Считают вершиной сечения точку на продолжении ребра. Такая точка лишь помогает построить след. Сторона сечения заканчивается там, где след выходит на настоящее ребро.
- Не замыкают многоугольник. Если в итоге остались точки, которые не соединены, проверь, во всех ли гранях, которые пересекает плоскость, есть отрезок.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
Чаще всего присылают построение сечения куба, параллелепипеда, призмы и тетраэдра плоскостью через три точки, в том числе когда одна точка лежит на продолжении ребра. Встречаются сечения плоскостью, параллельной грани, и задачи на периметр и площадь сечения.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё: у каждого есть чертёж и полный ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага. Тема связана с многогранниками: если путаешься в названиях рёбер и граней, начни с неё.