На рисунке 3 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите… (геометрия)

№ Прямая пересечения двух плоскостей в кубе

На рисунке 3 изображён куб $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ . Укажите прямую пересечения плоскостей $A_{1} B C$ и $A B B_{1}$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости (по её заданию).
Точка лежит на ребре , а точка лежит на ребре . Обе точки принадлежат грани , то есть плоскости .
Две различные плоскости, имеющие две общие точки, пересекаются по прямой, проходящей через эти точки. Значит, плоскости пересекаются по прямой .

💡 Почему так

Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой. Эта прямая задаётся двумя общими точками.

Ответ

Прямая .

№ Сколько плоскостей через три точки

Даны точки $M$ , $N$ и $K$ такие, что $M N = 23$ см, $M K = 14$ см, $N K = 13$ см. Сколько плоскостей можно провести через точки $M$ , $N$ и $K$ ? Ответ обоснуйте.

Решение

Проверим, лежат ли точки на одной прямой. Если бы одна точка лежала между двумя другими, то большее расстояние равнялось бы сумме двух меньших.

Значит, точки не лежат на одной прямой, и по неравенству треугольника они образуют треугольник ().

Через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

💡 Почему так

Аксиома стереометрии: через три точки, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость.

Ответ

Одна плоскость.

№ Прямая лежит в плоскости

Точки $D$ и $E$ — середины сторон $A B$ и $B C$ треугольника $A B C$ соответственно. Плоскость $α$ проходит через точки $B$ , $D$ и $E$ . Докажите, что прямая $A C$ лежит в плоскости $α$ .

Решение

Точки и лежат в плоскости и принадлежат прямой . Если две точки прямой лежат в плоскости, то вся прямая лежит в ней. Значит, прямая лежит в , и .
Точки и лежат в и принадлежат прямой . Значит, прямая лежит в , и .
Точки и лежат в плоскости , поэтому и вся прямая лежит в . Что и требовалось доказать.

💡 Почему так

Если две точки прямой лежат в плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

Ответ

Доказано: .

№ Точка пересечения прямой с плоскостью основания пирамиды

Точки $M$ и $N$ принадлежат соответственно граням $S A B$ и $S B C$ пирамиды $S A B C$ (рис. 4). Постройте точку пересечения прямой $M N$ с плоскостью $A B C$ .

Решение

Построение:

Проводим прямую . Она лежит в плоскости и пересекает прямую в точке .
Проводим прямую . Она лежит в плоскости и пересекает прямую в точке .
Прямые и лежат в одной плоскости , поэтому они пересекаются. Проводим прямую и находим точку .
Точка лежит на прямой . Она также лежит на прямой , которая принадлежит плоскости (точки , лежат на прямых , ). Значит, лежит в плоскости .

Итак, — искомая точка пересечения прямой с плоскостью .

💡 Почему так

Чтобы найти точку пересечения прямой с плоскостью, строят в этой плоскости прямую, пересекающуюся с данной. Здесь для этого проектируем точки и из вершины на основание.

Ответ

, где и .

№ Сечение треугольной призмы

Постройте сечение призмы $A B C A_{1} B_{1} C_{1}$ плоскостью, проходящей через точки $M$ , $K$ и $N$ , принадлежащие соответственно рёбрам $A B$ , $B C$ и $C C_{1}$ , причём прямые $M K$ и $A C$ не параллельны.

Решение

Построение:

Соединяем и : отрезок лежит в плоскости основания и в плоскости сечения.
Так как не параллельна , прямые и (обе в плоскости ) пересекаются в точке .
Точка лежит на прямой , значит, она принадлежит плоскости грани . Точка тоже лежит в этой плоскости. Проводим прямую и находим точку .
Соединяем с (обе точки лежат в грани ) и с (обе лежат в грани ).

Четырёхугольник — искомое сечение.

💡 Почему так

Сечение строят по следам: сторона сечения лежит в плоскости грани, если в ней лежат две точки сечения. Точку на продолжении используют, чтобы найти недостающую точку на ребре .

Ответ

Сечение — четырёхугольник , где , .

Помогло?

На рисунке 3 изображён куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Укажите прямую пересечения плоскостей…