Аксиомы стереометрии: три утверждения, на которых держится курс 10 класса
Планиметрия изучает фигуры на одной плоскости. В стереометрии появляются точки, прямые и плоскости в пространстве, и сначала нужно договориться, как они связаны между собой. Эти договорённости принимают без доказательства, их и называют аксиомами. Все остальные факты курса выводят из них.
В большинстве учебников для 10 класса аксиом три. Нумерация может отличаться, поэтому ориентируйся на формулировку.
- Аксиома 1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
- Аксиома 2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.
- Аксиома 3. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку.
Первая аксиома говорит, что три точки (не на одной прямой) однозначно задают плоскость. Так устроен устойчивый табурет на трёх ножках: он не качается, а с четырьмя может. Вторая аксиома показывает, когда прямая целиком лежит в плоскости: достаточно двух её точек. Третья описывает пересечение двух плоскостей, например двух стен комнаты: они встречаются по прямой, углу.
Следствия из аксиом стереометрии
Из трёх аксиом выводят теоремы, которые называют следствиями. Они нужны в задачах постоянно.
- Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и только одна.
- Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и только одна.
Первое следствие получается так: на прямой берут две точки, добавляют третью, не лежащую на ней, и применяют аксиому 1. Для второго следствия берут точку пересечения, ещё по точке на каждой прямой и снова применяют аксиому 1. Через две параллельные прямые тоже проходит ровно одна плоскость, но это считается определением параллельных прямых в пространстве. Подробнее о них в теме параллельность в пространстве.
Как записывать точки, прямые и плоскости символами
В заданиях по теме почти всегда нужны обозначения. Точки обозначают заглавными латинскими буквами, прямые строчными или двумя точками (a, AB), плоскости греческими буквами (α, β) или тремя точками, например (ABC).
- A ∈ α: точка A принадлежит плоскости α. Если не принадлежит, пишут A ∉ α.
- a ⊂ α: прямая a лежит в плоскости α.
- a ∩ b = O: прямые a и b пересекаются в точке O.
- a ∩ α = M: прямая a пересекает плоскость α в точке M.
- α ∩ β = c: плоскости α и β пересекаются по прямой c.
Символ ∈ связывает точку с фигурой, а ⊂ связывает фигуры между собой: прямую с плоскостью, отрезок с прямой. Если в задании спрашивают, каким символом обозначается принадлежность прямой плоскости, ответ ⊂.
Разбор задачи: докажи, что точка лежит в плоскости
Условие. Плоскость α проходит через вершины A, B и C параллелограмма ABCD. Докажи, что вершина D тоже лежит в α.
Шаг 1. Диагонали параллелограмма пересекаются в точке O. Точки A и C лежат в α, значит, по аксиоме 2 вся прямая AC лежит в α. Точка O лежит на AC, поэтому O ∈ α.
Шаг 2. Точки B и O тоже лежат в α, и они различны, потому что B не лежит на AC. По аксиоме 2 прямая BO лежит в α.
Шаг 3. Прямая BO содержит диагональ BD, а значит, и точку D. Все точки прямой BO лежат в α, поэтому D ∈ α.
Вывод. Весь параллелограмм лежит в одной плоскости. Приём тот же и в других задачах: найди две точки, которые точно лежат в плоскости, и пропусти через них прямую, тогда вся прямая окажется в плоскости.
Если нужно найти линию пересечения двух плоскостей на рисунке пирамиды или куба, ищи две общие точки этих плоскостей. Прямая через них и будет ответом по аксиоме 3.
Где ошибаются чаще всего
- Три точки всегда задают плоскость. Это верно, только если точки не лежат на одной прямой. Если лежат, плоскостей через них бесконечно много.
- Две плоскости с общей точкой имеют только эту точку. По аксиоме 3 у них обязательно есть общая прямая. Плоскости пересекаются по прямой, а не в точке.
- Путаница ∈ и ⊂. Запись A ⊂ α неверна, надо A ∈ α. И наоборот, a ∈ α для прямой писать нельзя, правильно a ⊂ α.
- Одна общая точка прямой и плоскости. Если известно только, что A ∈ α и A ∈ a, ничего определённого сказать нельзя: прямая может пересекать плоскость или лежать в ней. Лежит она в плоскости, если общих точек хотя бы две.
- Выводы из рисунка без оснований. Две прямые на чертеже не обязательно пересекаются, даже если выглядят так. Пересечение подтверждают общей точкой, лежащей в одной плоскости с обеими прямыми.
Какие задания по теме присылают ученики
По аксиомам стереометрии чаще всего присылают задания по рисунку куба, параллелепипеда или пирамиды: назвать плоскости, которым принадлежит точка, найти прямую пересечения плоскостей, проверить, верна ли запись. Ещё встречаются тесты и самостоятельные на верно-неверно, доказательства про параллелограмм или треугольник и чертежи по условию, например двух пересекающихся прямых и точек на них.
Посмотри список заданий выше: скорее всего, там есть похожее с полным ходом решения. Если своего не нашлось, сфотографируй задание и получи решение по шагам. Для задач по рисунку фото надо делать так, чтобы все буквы вершин были видны. Дальше по теме идут сечения многогранников, где те же аксиомы используют для построений, и общий раздел про многогранники.