Теорема синусов и теорема косинусов: формулы
В треугольнике ABC стороны a, b, c лежат напротив углов A, B, C. Это обозначение нужно сразу запомнить: большинство ошибок начинается с него.
Теорема синусов: стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.
a / sin A = b / sin B = c / sin C = 2R
R здесь радиус описанной окружности. Поэтому теорема синусов решает и задачи вида «найдите сторону, если известен радиус описанной около треугольника окружности».
Теорема косинусов: квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.
a² = b² + c² − 2bc × cos A
Если угол A равен 90°, cos A = 0 и остаётся a² = b² + c². Теорема косинусов обобщает теорему Пифагора на любые треугольники. Значения синусов и косинусов нужных углов смотри в теме синус, косинус, тангенс.
Когда применять теорему синусов, а когда косинусов
Выбор зависит от того, что дано в условии.
Теорема синусов подходит, когда известна пара «сторона и противолежащий ей угол», а в задаче есть ещё один угол или сторона. Типичные случаи:
- два угла и одна сторона (третий угол находишь через сумму углов треугольника);
- две стороны и угол, противолежащий одной из них;
- задача с радиусом описанной окружности.
Теорема косинусов нужна, когда пары «сторона и противолежащий угол» нет:
- две стороны и угол между ними, ищешь третью сторону;
- три стороны, ищешь угол. Для этого формулу переписывают: cos A = (b² + c² − a²) / (2bc).
Если в задаче сказано «решите треугольник», найди все стороны и все углы. Обычно начинают с одной теоремы, а дальше удобнее другая.
Разбор задачи по шагам
Задача. В треугольнике ABC известно, что AB = 5, BC = 8, ∠B = 60°. Найдите сторону AC и угол C.
Шаг 1. Угол B лежит между сторонами AB и BC, а противолежащей пары для известного угла нет. Значит, берём теорему косинусов.
Шаг 2. Сторона AC лежит напротив угла B:
AC² = AB² + BC² − 2 × AB × BC × cos B = 25 + 64 − 2 × 5 × 8 × ½ = 89 − 40 = 49
AC = 7.
Шаг 3. Теперь известна пара «AC и ∠B», так что для угла C удобна теорема синусов:
AB / sin C = AC / sin B
sin C = AB × sin B / AC = 5 × (√3/2) / 7 = 5√3 / 14 ≈ 0,619
Шаг 4. По таблице или калькулятору C ≈ 38°. Тупой угол 142° не подходит: AB = 5 меньше AC = 7, поэтому угол C меньше угла B и острый.
Проверка. Угол A ≈ 180° − 60° − 38° = 82°. Найдём его по теореме косинусов: cos A = (25 + 49 − 64) / (2 × 5 × 7) = 10/70 ≈ 0,143, это около 82°. Совпало.
Ответ: AC = 7, ∠C ≈ 38°.
Где ошибаются чаще всего
Путают, какая сторона напротив какого угла. В теореме синусов сторона a делится на синус угла A, который лежит напротив неё, а не рядом. Перед решением подпиши рисунок: у каждой стороны рядом нарисуй противолежащий угол.
Забывают про знак косинуса у тупого угла. Для 120° cos = −½, и минус в формуле меняется на плюс. Пример: две стороны 9 и 21, напротив 21 угол 120°. Тогда 21² = 9² + x² − 2 × 9 × x × (−½), то есть x² + 9x − 360 = 0, откуда x = 15. Если взять cos 120° = +½, получится неверное уравнение.
Не проверяют, острый угол или тупой. Синус 30° и синус 150° одинаковы, поэтому по синусу угол определяется неоднозначно. Смотри на стороны: напротив меньшей стороны лежит меньший угол, а в треугольнике может быть только один тупой угол. Если нужен угол, надёжнее найти его через косинус: у косинуса знак подсказывает, острый угол или тупой.
Берут в теореме косинусов не тот угол. В формуле a² = b² + c² − 2bc × cos A угол A должен быть между сторонами b и c. Если взять другой угол, ответ будет неверным.
Теряют двойку в формуле с радиусом. Равенство a / sin A = 2R, а не R. Например, если ∠B = 71°, ∠C = 79°, R = 8, то ∠A = 30° и BC = 2 × 8 × sin 30° = 8.
Какие задания присылают ученики
Чаще всего по теме приходят задачи на нахождение стороны или угла по теореме синусов и теореме косинусов, на радиус описанной окружности и «решите треугольник». Встречаются и задачи с практическим сюжетом, например про маршрут самолёта, и задачи на доказательство. Есть также задачи, где фигура сложнее треугольника: диагональ параллелограмма или точка на стороне.
Выше есть список решённых заданий с полным ходом решения. Найди похожее по условию и сравни со своим. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получи решение с пояснениями по шагам.