Сумма углов треугольника равна 180°
Сумма углов любого треугольника равна 180°: ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Это верно для остроугольного, тупоугольного, прямоугольного, равнобедренного и любого другого треугольника. Если в тесте спрашивают, какая сумма углов треугольника, а среди ответов есть «зависит от треугольника», этот вариант неверный.
Из формулы следует несколько полезных вещей:
- сумма двух углов треугольника равна 180° минус третий угол, поэтому она всегда меньше 180°;
- в треугольнике может быть только один прямой или тупой угол;
- если известны два угла, третий находится вычитанием: ∠C = 180° − ∠A − ∠B.
Пример: два угла равны 47° и 85°. Третий угол: 180° − 47° − 85° = 48°.
Почему сумма углов треугольника равна 180°
Через вершину B проводят прямую, параллельную стороне AC. Рядом с углом B на этой прямой появляются ещё два угла. Каждый из них равен одному из углов A и C, потому что это накрест лежащие углы при параллельных прямых.
Все три угла вместе образуют развёрнутый угол, то есть 180°. Значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°. Для доказательства нужны параллельные прямые и свойства смежных и вертикальных углов.
Сумма углов прямоугольного, равнобедренного и равностороннего треугольника
Общая сумма во всех случаях 180°, но дополнительные условия упрощают счёт.
- Прямоугольный треугольник. Один угол 90°, поэтому два острых угла вместе дают 90°. Если один острый угол 30°, второй 60°.
- Равнобедренный треугольник. Углы при основании равны. Если угол при вершине 40°, каждый угол при основании равен (180° − 40°) ÷ 2 = 70°. Если угол при основании 50°, угол при вершине равен 180° − 50° − 50° = 80°. Подробнее о свойствах: равнобедренный треугольник.
- Равносторонний треугольник. Все углы равны, каждый 180° ÷ 3 = 60°.
Отдельно запомни внешний угол. Он смежный с внутренним углом, поэтому вместе они дают 180°. Кроме того, внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, равна 360°.
Как решать: углы относятся как 2 : 3 : 4
Задание. Углы треугольника относятся как 2 : 3 : 4. Найди больший угол.
- Одну часть обозначь за x. Тогда углы равны 2x, 3x и 4x.
- Сумма углов 180°, поэтому 2x + 3x + 4x = 180°.
- Сложи части: 9x = 180°, откуда x = 20°.
- Найди углы: 2 × 20° = 40°, 3 × 20° = 60°, 4 × 20° = 80°.
- Проверь: 40° + 60° + 80° = 180°. Больший угол равен 80°.
Так же решаются задания вида «угол B в 3 раза меньше угла C и на 15° меньше угла A». Выбери самый «маленький» угол, обозначь его за x, вырази через него два других и составь уравнение: сумма равна 180°.
Где ошибаются чаще всего
- Путают 180° и 360°. Сумма углов треугольника 180°. Число 360° получается для внешних углов (по одному при каждой вершине) и для четырёх углов четырёхугольника.
- В прямоугольном треугольнике берут 180° для острых углов. Острые углы дают вместе только 90°, потому что 90° уже занимает прямой угол.
- В задачах на отношение называют x вместо угла. Если углы относятся как 2 : 3 : 4, то x = 20° — это одна часть, а не ответ. Ответом будет 2x, 3x или 4x в зависимости от вопроса.
- Путают внешний угол с внутренним. Внешний угол равен сумме двух несмежных внутренних углов. Если известен внешний угол, соседний внутренний равен 180° минус он.
После решения проверь себя: сложи найденные углы, должно получиться 180°.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это углы по отношению частей, углы с неизвестными «в 3 раза меньше» и «на 15° больше», внешние углы, угол между биссектрисами и задачи с высотой, медианой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Встречаются и вопросы с выбором ответа на саму формулу.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения по шагам. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснениями.