Что такое трапеция: основания и боковые стороны
У трапеции две параллельные стороны — это основания трапеции. Две другие стороны не параллельны, их называют боковыми сторонами. Расстояние между основаниями — высота. Её проводят перпендикулярно основаниям, обычно из вершины верхнего основания.
Если у четырёхугольника обе пары противоположных сторон параллельны, это уже параллелограмм, а не трапеция. Поэтому основания трапеции не бывают равными: при равных параллельных сторонах получился бы параллелограмм.
Виды трапеций:
- равнобедренная (равнобокая): боковые стороны равны;
- прямоугольная: одна боковая сторона перпендикулярна основаниям, два угла по 90°;
- произвольная: все остальные.
Углы трапеции: что с ними можно делать
Основания параллельны, а боковая сторона служит секущей. Поэтому углы при одной боковой стороне в сумме дают 180° (односторонние углы, подробнее в теме параллельные прямые). Сумма всех четырёх углов трапеции равна 360°.
У равнобедренной трапеции есть дополнительные свойства:
- углы при каждом основании равны, то есть два острых равны между собой и два тупых тоже;
- диагонали равны;
- высоты, опущенные из вершин меньшего основания, отсекают на большем основании равные отрезки.
Примеры. Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна 292°. Такая сумма возможна только у двух тупых углов, значит каждый по 146°, а острый равен 180° − 146° = 34°. В прямоугольной трапеции с углом 146° два угла прямые, а меньший равен 180° − 146° = 34°.
Средняя линия и площадь трапеции
Средняя линия трапеции соединяет середины боковых сторон. Она параллельна основаниям и равна их полусумме:
m = (a + b) ÷ 2
Это похоже на среднюю линию треугольника, только вместо половины одной стороны берётся половина суммы двух. Например, при основаниях 8 и 18 средняя линия равна (8 + 18) ÷ 2 = 13. Высоту в этой формуле использовать не нужно, лишние данные в условии часто нарочно.
Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту:
S = (a + b) ÷ 2 × h
Другие формулы собраны в теме площади фигур. Если трапеция нарисована на клетчатой бумаге, считай клетки: найди длины оснований и подставь в формулу средней линии.
Как найти основания равнобедренной трапеции: разбор задания
Задача. В равнобокой трапеции высота, проведённая из вершины тупого угла, делит большее основание на отрезки 4 см и 14 см. Найди основания трапеции.
Решение.
- Пусть BC — меньшее основание, AD — большее, BH — высота из вершины B. Проведём вторую высоту CK. Четырёхугольник HBCK — прямоугольник, поэтому HK = BC.
- Треугольники ABH и DCK равны по гипотенузе и острому углу, ведь трапеция равнобедренная. Значит, AH = KD.
- Большее основание разбито на три части: AH, HK и KD. Отрезок AH — меньший из двух данных, то есть AH = 4. Тогда больший отрезок HD = HK + KD = 14.
- Меньшее основание: BC = HK = 14 − 4 = 10 см.
- Большее основание: AD = 4 + 14 = 18 см.
Проверка: средняя линия (10 + 18) ÷ 2 = 14, а это как раз больший отрезок. Так будет всегда: высота из тупого угла делит большее основание на полуразность и полусумму оснований.
Если в условии дан острый угол и боковая сторона, отрезок AH находят через синус, косинус, тангенс, а при известных сторонах прямоугольного треугольника ABH — по теореме Пифагора.
Где ошибаются чаще всего
- Путают углы при основании и при боковой стороне. Сумма 180° относится к углам при одной боковой стороне, а не к двум углам одного основания. Если в условии «один угол на 30° больше другого», это тупой и острый угол при одной боковой стороне: x + (x + 30°) = 180°, откуда x = 75°, а второй угол 105°.
- Берут боковую сторону вместо высоты. В формуле площади нужна высота, перпендикулярная основаниям. Боковая сторона подходит только в прямоугольной трапеции.
- Считают сумму двух углов тупыми или острыми без проверки. Если сумма двух углов равнобедренной трапеции 46°, это два острых угла по 23°, а больший угол равен 180° − 23° = 157°. Сумма 292° — это два тупых.
- Складывают основания, но не делят на 2. Средняя линия равна полусумме оснований, а не сумме.
Какие задания по трапеции присылают ученики
Чаще всего приходят задачи на углы равнобедренной и прямоугольной трапеции, на среднюю линию (в том числе на клетчатой бумаге), на основания равнобокой трапеции и периметр. Реже встречаются доказательства и трапеция с вписанной окружностью.
Посмотри список заданий выше и найди похожее: у каждого есть полный ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам.