Как звучит теорема Пифагора
Теорема Пифагора работает только в прямоугольном треугольнике, то есть в таком, где есть угол 90°. Стороны, которые образуют прямой угол, называются катетами. Сторона напротив прямого угла называется гипотенузой, она всегда самая длинная.
Формулировка: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
a² + b² = c²
Здесь a и b: катеты, c: гипотенуза. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов на катетах. Поэтому теорему часто связывают с площадями фигур, на этом построены многие её доказательства.
Если в задании нужно выбрать верную формулировку, смотри на слова. Верный вариант говорит о квадрате гипотенузы и сумме квадратов катетов. «Квадраты катетов равны квадрату гипотенузы» или «разность квадратов» неверны.
Как найти катет и гипотенузу по теореме Пифагора
Формулу удобно переписать под то, что ищешь:
- гипотенуза: c = √(a² + b²)
- катет: a = √(c² − b²)
Разбор задачи. Один катет прямоугольного треугольника равен 15 см, гипотенуза 17 см. Найди второй катет и площадь.
- Гипотенуза известна, значит, второй катет b ищем вычитанием: b² = 17² − 15².
- Считаем: 289 − 225 = 64.
- Извлекаем корень: b = √64 = 8 см.
- Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов: S = ½ × 15 × 8 = 60 см².
Проверка: 15² + 8² = 225 + 64 = 289 = 17². Всё сходится.
К этому же приёму сводятся задачи про флагшток с тросом или расстояние между двумя посёлками. Трос и земля с мачтой образуют прямоугольный треугольник, где трос: гипотенуза. Расстояние между деревнями находят как гипотенузу, если по карте известны смещения на север и на восток.
Высота к гипотенузе, медиана и клетчатая бумага
Больше всего заданий по теме: «найдите высоту, проведённую к гипотенузе». Здесь теорема Пифагора только первый шаг.
Пример. Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12. Найди высоту, проведённую к гипотенузе.
- Находим гипотенузу: c² = 81 + 144 = 225, c = 15.
- Считаем площадь через катеты: S = ½ × 9 × 12 = 54.
- Ту же площадь записываем через гипотенузу и высоту: S = ½ × 15 × h.
- Приравниваем: 15h = 108, h = 7,2.
Короче: h = ab ÷ c. Если в условии даны катет и гипотенуза, сначала найди второй катет, как в предыдущем разделе.
Ещё несколько приёмов, которые встречаются в таких заданиях:
- Медиана, проведённая из прямого угла, равна половине гипотенузы. Если гипотенуза 13, медиана 6,5.
- В равнобедренном треугольнике высота к основанию является и медианой (подробнее в теме равнобедренный треугольник). При AB = BC = 17 и AC = 16 медиана BM делит основание на отрезки по 8, а BM = √(17² − 8²) = √225 = 15.
- В равностороннем треугольнике со стороной a высота h удовлетворяет равенству a² = h² + (a ÷ 2)². При h = 10√3 получаем a = 20 и периметр 60.
- На клетчатой бумаге достаточно посчитать катеты по клеткам. Расстояние между двумя точками тоже находят как гипотенузу: сколько клеток по горизонтали и сколько по вертикали. Тот же приём в общем виде описан в теме метод координат.
Обратная теорема Пифагора
Обратная теорема помогает понять, есть ли в треугольнике прямой угол. Если для сторон треугольника выполняется a² + b² = c², где c: наибольшая сторона, то он прямоугольный.
Пример. Стороны 6, 8 и 10. Проверяем: 6² + 8² = 36 + 64 = 100 = 10². Треугольник прямоугольный, прямой угол лежит напротив стороны 10.
Стороны 4, 5 и 6 такого равенства не дают: 16 + 25 = 41, а 6² = 36. Значит, прямого угла нет.
Полезно помнить целочисленные тройки, они часто встречаются в задачах:
- 3, 4, 5
- 5, 12, 13
- 8, 15, 17
- 7, 24, 25
Если стороны кратны одной из них (например, 6, 8, 10 или 9, 12, 15), треугольник тоже прямоугольный. Заметив тройку, можно не считать корни. Для общих треугольников, где прямого угла нет, нужны теоремы синусов и косинусов.
Где ошибаются чаще всего
- Не извлекают корень. Из a² + b² = c² получают c², а не c. Если вышло 169, ответ 13.
- Путают гипотенузу с катетом. Гипотенуза лежит напротив прямого угла и самая длинная. Когда она известна, катет находят вычитанием: c² − b², а не сложением.
- Применяют теорему не к тому треугольнику. Если в треугольнике ABC проведена высота BH, прямоугольные здесь ABH и CBH, а сам ABC может и не быть прямоугольным. Пример: AB = 13, AH = 5, CH = 16. Из треугольника ABH находим BH = √(169 − 25) = 12. Затем из CBH находим BC = √(144 + 256) = 20.
- Складывают стороны вместо квадратов. 3 + 4 ≠ 5, а вот 3² + 4² = 5². Складывать нужно именно квадраты.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего присылают задачи на высоту к гипотенузе (по двум катетам или по катету и гипотенузе). Ещё много заданий на клетчатой бумаге: найти больший катет, медиану или расстояние между точками. Встречаются задачи про равнобедренный и равносторонний треугольники, прикладные задачи с тросом и картой, а также вопросы на формулировку теоремы.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения: меняются только числа. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получишь решение с пояснениями по шагам.