Что такое равнобедренный треугольник и где его основание
Равнобедренный треугольник — треугольник, у которого две стороны равны. Эти равные стороны называются боковыми, третья сторона — основанием. Вершина равнобедренного треугольника — точка, где сходятся боковые стороны. Два угла, прилежащие к основанию, называют углами при основании.
Если в условии написано «треугольник ABC равнобедренный, AC = BC», то боковые стороны здесь AC и BC, основание AB, а вершина — точка C. Вершину всегда находят по равным сторонам: это общая точка двух равных сторон.
Равносторонний треугольник считается частным случаем равнобедренного: у него равны все три стороны. Равнобедренный прямоугольный треугольник имеет прямой угол при вершине, а два других угла по 45°. Его гипотенуза — это основание.
Свойства равнобедренного треугольника
Три факта нужны почти в каждой задаче:
- Углы при основании равны. Равные углы лежат против равных сторон.
- Медиана, биссектриса и высота, проведённые к основанию, совпадают. Это один и тот же отрезок: он делит основание пополам, делит угол при вершине пополам и перпендикулярен основанию.
- Признак: если в треугольнике два угла равны, он равнобедренный.
Первое свойство доказывают через признаки равенства треугольников: проводят биссектрису угла при вершине и получают два равных треугольника. Из второго свойства следует, что высота к основанию создаёт два прямоугольных треугольника. Дальше работает теорема Пифагора.
Как найти углы в равнобедренном треугольнике
Разберём задание: в треугольнике ABC внешний угол при вершине B равен 124°, AC = BC. Найти угол C.
- Равны стороны AC и BC, значит, вершина C, основание AB, а равные углы — A и B.
- Внешний угол и внутренний угол при B в сумме дают 180°, это смежные углы. Угол B = 180° − 124° = 56°.
- Угол A равен углу B, то есть 56°.
- По сумме углов треугольника угол C = 180° − 56° − 56° = 68°.
Ответ: 68°. Проверка: 56° + 56° + 68° = 180°.
Если известен угол при вершине, углы при основании равны (180° − угол при вершине) ÷ 2. Если известен угол при основании, угол при вершине равен 180° − 2 × этот угол.
Периметр, стороны и площадь равнобедренного треугольника
Периметр равнобедренного треугольника равен основание + 2 × боковая сторона. Боковую сторону считают дважды, потому что их две.
Пример: периметр равен 50 см, боковая сторона на 5 см меньше основания. Найти основание.
- Пусть основание x см, тогда боковая сторона x − 5 см.
- Составляем уравнение: x + 2(x − 5) = 50.
- Раскрываем скобки: 3x − 10 = 50, откуда 3x = 60 и x = 20.
- Боковая сторона 20 − 5 = 15 см. Проверка: 20 + 15 + 15 = 50.
Ответ: основание 20 см. Сумма двух меньших сторон 15 + 15 = 30 больше третьей стороны 20, значит, такой треугольник существует.
Чтобы найти площадь равнобедренного треугольника, нужна высота к основанию. Пусть основание 16, боковая сторона 10. Высота делит основание на части по 8, и по теореме Пифагора h = √(10² − 8²) = √36 = 6. Площадь равна ½ × 16 × 6 = 48. Другие формулы собраны в теме площади фигур.
Где ошибаются чаще всего
- Путают, какие углы равны. При AC = BC равны углы A и B, а не C. Сначала найди вершину по равным сторонам, потом записывай равные углы.
- Считают внешний угол внутренним. Внешний угол при основании всегда тупой, поэтому внутренний угол при нём острый: 180° минус внешний. Если внешний угол 150°, угол при основании 30°.
- Считают боковую сторону один раз. В периметре их две. Для периметра 44 см и боковой стороны 18 см основание равно 44 − 18 − 18 = 8 см, а не 44 − 18.
- Не проверяют, какая сторона основание. Если в условии сказано только «две стороны 4 и 9», сначала проверь неравенство треугольника. Стороны 4, 4, 9 не подходят, потому что 4 + 4 < 9. Остаётся вариант 9, 9, 4.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это поиск углов через внешний угол или сумму углов, периметр с условием вроде «боковая сторона больше основания на 3 см», задачи с медианой и биссектрисой и доказательства, что треугольник равнобедренный. Встречаются и более сложные: равнобедренный прямоугольный треугольник с вписанным квадратом, равносторонний и равнобедренный треугольники с общим основанием.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага.