Что такое смежные и вертикальные углы
Обе пары углов возникают, когда рисуешь лучи и прямые из одной точки. Эта тема открывает отрезки и углы в 7 классе, и на ней строится почти всё дальше.
Смежные углы имеют общую вершину и одну общую сторону, а две другие стороны лежат на одной прямой. Например, на прямой стоят точки A, B, C, а из точки B выходит луч BK. Углы ABK и KBC смежные: у них общая сторона BK, а стороны BA и BC дополняют друг друга до прямой.
Вертикальные углы получаются при пересечении двух прямых. Стороны одного угла являются продолжениями сторон другого. Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла, и это две пары вертикальных углов.
У каждого угла две соседние пары: с двумя углами он смежный и с одним вертикальный.
Свойства смежных и вертикальных углов
Запомни два главных свойства.
- Сумма смежных углов равна 180°. Вместе они образуют развёрнутый угол.
- Вертикальные углы равны. Это теорема, и её доказывают через смежные углы: угол 1 + угол 2 = 180° и угол 3 + угол 2 = 180°, значит, угол 1 = угол 3.
Из первого свойства следуют полезные выводы:
- если один из смежных углов прямой, то и второй прямой;
- если один острый, то другой тупой, и наоборот;
- биссектрисы двух смежных углов перпендикулярны, угол между ними 90°, потому что ½ × 180° = 90°.
Если на рисунке пересекаются две прямые и известен один угол, то известны все четыре. Например, при угле 52° два угла по 52° и два по 128°.
Как решать задачи на смежные углы: разбор
Большинство заданий сводится к уравнению: сумма смежных углов равна 180°.
Задача. Найди смежные углы, если один из них на 40° больше другого.
- Обозначь меньший угол за x. Тогда больший равен x + 40°.
- Углы смежные, значит, x + (x + 40°) = 180°.
- Упрости: 2x + 40° = 180°, 2x = 140°, x = 70°.
- Больший угол: 70° + 40° = 110°.
- Проверь: 70° + 110° = 180°, разность 40°. Всё сходится.
Ответ: 70° и 110°.
Если дано отношение, например 2 : 7, углы равны 2x и 7x. Тогда 9x = 180°, x = 20°, а углы 40° и 140°. Если известен один угол, второй находится вычитанием: 180° − 97° = 83°.
В задачах с пересекающимися прямыми сначала найди нужный угол как смежный или вертикальный с уже известным, потом переходи к следующему. Полезно подписать на рисунке каждый найденный угол.
Где ошибаются чаще всего
- Считают смежными любые углы с суммой 180°. Это неверно: углы 100° и 80° могут стоять в разных частях рисунка. Смежными их делают общая вершина, общая сторона и две остальные стороны на одной прямой.
- Думают, что смежные углы равны. Равны вертикальные углы. Смежные равны только в одном случае: когда каждый по 90°.
- Путают вертикальные углы с накрест лежащими. Вертикальные образуются при пересечении двух прямых и равны всегда. Накрест лежащие появляются при секущей и равны только для параллельных прямых.
- Ошибаются в уравнении с отношением. Если углы относятся как 1 : 5, то 1 + 5 = 6 частей приходится на 180°, а не на один угол. Часть равна 180° ÷ 6 = 30°, углы 30° и 150°.
Задачи по теме на странице
Ученики присылают задания трёх видов: найти угол, смежный с данным; найти смежные углы по сумме, разности или отношению; найти все углы при пересечении двух прямых. Встречаются и задания с биссектрисами смежных углов, и построение угла транспортиром, где биссектрису проводят по правилам построений. Есть и самостоятельные работы с пропусками в записи решения.
Найди в списке выше задание, похожее на своё, и сравни ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй условие и получишь решение по шагам. Эти же свойства потом пригодятся в теме сумма углов треугольника.