Найдите неразвёрнутые углы, образованные при… (геометрия)

№

Углы при пересечении двух прямых

⚠️

Не решены , и : рисунки , и не видны или обрезаны, без них не понять, как пронумерованы и обозначены углы. В обрезан конец условия, а в вопросах и обрезан текст, поэтому они пропущены. Чтобы решить остальное, переснимите эти задания ближе и крупнее, по – задания на фото, так чтобы рисунки были видны целиком.

Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если:
а) сумма двух из них равна 114°;
б) сумма трёх углов равна 220°.

Решение

При пересечении двух прямых получаются четыре угла: два равных вертикальных угла и два равных вертикальных угла (смежные углы в сумме дают ).

а) Сумма смежных углов равна , а не . Значит, это два вертикальных (равных) угла:

б) Три угла — это два равных угла и один угол :

Проверка:

💡 Почему так

Вертикальные углы равны, смежные углы в сумме дают °.

Ответ

а) , , , ;
б) , , , .

№

Перпендикуляр к прямой

Прямая $a$ пересекает стороны угла $A$ в точках $P$ и $Q$ . Могут ли обе прямые $A P$ и $A Q$ быть перпендикулярными к прямой $a$ ?

Решение

Предположим, что и . Тогда через точку , не лежащую на прямой , проходят две различные прямые и , перпендикулярные (они различны, потому что и — стороны угла). Но через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, перпендикулярную данной. Получили противоречие.

💡 Почему так

Через точку вне прямой проходит единственный перпендикуляр к этой прямой.

Ответ

Нет, не могут.

№

Прямые, пересекающие данную

Через точку $A$ , не лежащую на прямой $a$ , проведены прямые, пересекающие прямую $a$ . Докажите, что по крайней мере две из них не перпендикулярны к прямой $a$ .

Решение

Конец условия обрезан на фото. Считаю, что проведено не менее трёх прямых (как в стандартной формулировке этой задачи).

Через точку , не лежащую на , можно провести только одну прямую, перпендикулярную . Значит, среди проведённых прямых перпендикулярной может быть не более одной. Остальные не перпендикулярны , и их по крайней мере две.

💡 Почему так

Перпендикуляр к прямой из точки вне её единственный.

Ответ

Доказано: перпендикулярной может быть не более одной прямой, остальные не перпендикулярны .

Вопросы для повторения к главе I

Сколько прямых можно провести через две точки?
Сколько общих точек могут иметь две прямые?
Объясните, что такое отрезок.
Объясните, что такое луч. Как обозначаются лучи?
Какая фигура называется углом? Объясните, что такое вершина и стороны угла.
Какой угол называется развёрнутым?
Какие фигуры называются равными?
Объясните, как сравнить два отрезка.
Какая точка называется серединой отрезка?
Объясните, как сравнить два угла.
Какой луч называется биссектрисой угла?
Точка $C$ делит отрезок $A B$ на два отрезка. Как найти длину отрезка $A B$ , если известны длины отрезков $A C$ и $C B$ ?
Что такое градусная мера угла?
Луч $O C$ делит угол $A O B$ на два угла. Как найти градусную меру угла $A O B$ , если известны градусные меры углов $A O C$ и $C O B$ ?

Решение

Через две точки можно провести прямую, и притом только одну.
Две прямые имеют либо одну общую точку (пересекаются), либо ни одной (параллельны), либо совпадают, и тогда общих точек бесконечно много.
Отрезок — часть прямой, ограниченная двумя точками (его концами), вместе с этими точками.
Луч — часть прямой, состоящая из точки (начала луча) и всех точек прямой по одну сторону от неё. Лучи обозначают двумя большими буквами (первая — начало луча, вторая — любая точка на луче, например ) или одной маленькой буквой.
Угол — фигура, состоящая из точки (вершины) и двух лучей, выходящих из неё (сторон угла).
Развёрнутый угол — угол, стороны которого лежат на одной прямой; он равен .
Равные фигуры — те, которые можно совместить наложением.
Нужно наложить один отрезок на другой так, чтобы совпали их концы с одной стороны. Если совпадут и вторые концы, отрезки равны, иначе меньше тот отрезок, который уместился внутри другого. Можно и сравнить их длины.
Середина отрезка — точка отрезка, которая делит его пополам, то есть на два равных отрезка.
Нужно наложить один угол на другой так, чтобы совпали их вершины и одна из сторон. Если совпадут и вторые стороны, углы равны, иначе меньше тот угол, который оказался внутри другого. Можно и сравнить их градусные меры.
Биссектриса угла — луч с началом в вершине угла, который делит угол на два равных угла.
Длины складываются: .
Градусная мера угла — число, показывающее, сколько раз градус и его части укладываются в угле. Градус — часть развёрнутого угла.
Градусные меры складываются: .

Ответ

Одну.
Одну, ни одной или бесконечно много (если совпадают).
Часть прямой между двумя точками.
Часть прямой, ограниченная с одной стороны точкой; обозначают двумя большими буквами (начало первое) или одной маленькой.
Две луча из одной точки; точка — вершина, лучи — стороны.
Угол со сторонами на одной прямой, .
Те, что совмещаются наложением.
Наложением или по длинам.
Точка, делящая отрезок пополам.
Наложением или по градусным мерам.
Луч из вершины, делящий угол пополам.
.
Число градусов в угле; градус — развёрнутого угла.
.

Помогло?

Найдите неразвёрнутые углы, образованные при пересечении двух прямых, если: а)…