Что такое параллельные прямые
Параллельные прямые лежат в одной плоскости и не пересекаются, как бы далеко их ни продолжали. Записывают так: a ∥ b. Две параллельные прямые встречаются в задачах на углы, на доказательство и на построение.
На плоскости есть три базовых факта:
- Через точку, не лежащую на прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Это аксиома параллельных прямых.
- Две прямые, параллельные третьей, параллельны друг другу.
- Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, она пересекает и другую.
Если две прямые перпендикулярны третьей, они тоже параллельны. Это следует из признака: у обеих прямых с секущей получаются углы по 90°, а значит, соответственные углы равны.
В пространстве бывают ещё скрещивающиеся прямые, которые не пересекаются и не параллельны. Об этом говорится в теме параллельность в пространстве. В 7 классе все прямые лежат в одной плоскости.
Как доказать, что прямые параллельны
Возьми две прямые и пересеки их третьей, секущей. При этом получаются восемь углов, и нужны только их пары. Если выполняется хотя бы одно условие, данные прямые параллельны:
- накрест лежащие углы равны;
- соответственные углы равны;
- сумма односторонних углов равна 180°.
Чтобы не путать пары, смотри на положение углов. Накрест лежащие находятся между прямыми по разные стороны от секущей, как буква Z. Соответственные расположены с одной стороны от секущей и занимают одинаковое место: оба сверху или оба снизу. Односторонние лежат между прямыми по одну сторону от секущей.
Если нужного угла на рисунке нет, получи его через смежные и вертикальные углы. Вертикальные углы равны, а смежные в сумме дают 180°.
Свойства углов, когда параллельность уже дана
Если сказано, что a ∥ b или что данные прямые параллельны, работают обратные утверждения:
- накрест лежащие углы равны;
- соответственные углы равны;
- односторонние углы в сумме дают 180°.
Пример. Прямые a и b параллельны, секущая c образует с прямой a угол 70°. Накрест лежащий и соответственный с ним углы при прямой b тоже равны 70°. Односторонний угол равен 180° − 70° = 110°. Из этих двух значений, 70° и 110°, складываются все восемь углов: каждый угол равен либо 70°, либо 110°.
Это быстрая проверка. Если у тебя получился угол, отличный от 70° и 110°, где-то в рассуждении ошибка.
Разбор задания: доказать, что прямые параллельны
Условие. В треугольнике ABC ∠A = 58°, ∠B = 61°. Через вершину B проведена прямая BF так, что луч BC является биссектрисой угла ABF. Докажите, что AC ∥ BF.
Шаг 1. Найди третий угол треугольника по сумме углов треугольника: ∠C = 180° − 58° − 61° = 61°.
Шаг 2. Используй биссектрису. Луч BC делит угол ABF пополам, поэтому ∠CBF = ∠ABC = 61°.
Шаг 3. Сравни углы. ∠ACB = 61° и ∠CBF = 61°. Это накрест лежащие углы при прямых AC и BF и секущей BC. Точки A и F лежат по разные стороны от BC, потому что BC делит угол ABF.
Шаг 4. Сделай вывод. Накрест лежащие углы равны, значит, AC ∥ BF по признаку параллельности.
В записи решения указывай, какие именно углы и при какой секущей ты сравниваешь.
Где ошибаются чаще всего
Используют свойство вместо признака. Если в условии не сказано, что прямые параллельны, равенство углов брать нельзя. Нужно сначала доказать равенство углов, а потом по признаку сделать вывод о параллельности.
Считают односторонние углы равными. Они в сумме дают 180°. Равны накрест лежащие и соответственные.
Путают «одну прямую» и «одну параллельную». Через точку на плоскости проходит бесконечно много прямых. Единственная только та, что параллельна данной. Из-за этого утверждение «через заданную точку можно провести только одну прямую» неверно.
Говорят, что параллельные прямые «равны» или «пересекаются». Прямые бесконечны, поэтому длину им не приписывают. Равными бывают углы при секущей и отрезки, но не сами прямые. А параллельные прямые на плоскости не пересекаются никогда.
Какие задания присылают и как пользоваться страницей
В заданиях по теме обычно нужно найти углы при параллельных прямых и секущей, доказать параллельность по признаку или выбрать верные утверждения. Встречаются и вопросы про перпендикуляры к одной прямой, и задачи со средней линией треугольника.
Посмотри список заданий выше и найди то, где такой же рисунок или такой же вопрос. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и отправь: в решении будет ход по шагам, и ты сможешь сверить его со своим.