Что такое средняя линия треугольника
Средняя линия треугольника — это отрезок, который соединяет середины двух его сторон. В каждом треугольнике таких отрезков три.
Если M — середина стороны AB, а N — середина стороны BC, то MN и есть средняя линия треугольника ABC. Она не имеет отношения к вершине B: обе её точки лежат на сторонах, а не в углах.
Средняя линия не то же самое, что медиана. Медиана идёт из вершины в середину противоположной стороны, а средняя линия соединяет две середины.
Свойства средней линии треугольника
Главная теорема: средняя линия треугольника параллельна третьей стороне и равна её половине. Если MN соединяет середины AB и BC, то MN ∥ AC и MN = ½ × AC.
Из этого вытекает всё остальное:
- Три средние линии делят треугольник на 4 равных треугольника. Каждый из них подобен исходному с коэффициентом ½, об этом подробнее в теме подобие треугольников.
- Периметр треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон, вдвое меньше периметра исходного.
- Средняя линия отсекает от треугольника маленький треугольник с площадью ¼ от исходной. На оставшуюся часть приходится ¾.
- Средняя линия и третья сторона образуют вместе с остальными частями фигуры трапецию: MN ∥ AC, а боковые стороны лежат на AB и BC.
Параллельность средней линии доказывают через признаки параллельных прямых или через подобие треугольников BMN и BAC.
Как найти среднюю линию и сторону треугольника: разбор задачи
Задача. В треугольнике ABC стороны AB = 10, BC = 14, AC = 18. Точки M и N — середины AB и BC. Найди длину средней линии MN и периметр треугольника, вершины которого лежат в серединах сторон ABC.
Шаг 1. Определи, какую сторону средняя линия не касается. MN соединяет середины AB и BC, значит, она параллельна AC.
Шаг 2. Найди длину по теореме: MN = AC ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9.
Шаг 3. Найди две другие средние линии. Линия между серединами AB и AC равна BC ÷ 2 = 7. Линия между серединами BC и AC равна AB ÷ 2 = 5.
Шаг 4. Сложи: 9 + 7 + 5 = 21. Это же можно сделать быстрее: периметр ABC равен 10 + 14 + 18 = 42, а половина от него 21.
Ответ: MN = 9, периметр равен 21.
Если нужно найти сторону по средней линии, действие обратное: сторона вдвое длиннее. При средней линии 9 параллельная ей сторона равна 18.
Для площади достаточно помнить про ¼. Если площадь ABC равна 48, то площадь треугольника BMN равна 48 ÷ 4 = 12, а площадь трапеции AMNC равна 48 − 12 = 36. Другие формулы собраны в теме площади фигур.
Средняя линия на клетчатой бумаге и в задачах с периметром
Клетчатая бумага. Найди, какая сторона параллельна нужной средней линии. Например, для линии, параллельной AC, считай длину AC. Если AC идёт по горизонтали или вертикали, посчитай клетки и раздели число на 2. Если сторона идёт по диагонали, длину можно получить по теореме Пифагора, а можно проверить по серединам: отметь середины двух других сторон и сосчитай расстояние между ними.
Периметр второго треугольника. Когда в условии сказано, что вершины одного треугольника лежат в серединах сторон другого, стороны маленького треугольника являются средними линиями большого. Стороны 2, 3 и 4 см значит, что у большого треугольника стороны 4, 6 и 8 см. Его периметр 18 см.
Равносторонний треугольник. Если периметр равен 24 см, каждая сторона равна 8 см, а средняя линия 4 см.
Четырёхугольник из двух параллельных прямых. Если через середину третьей стороны провести прямые, параллельные двум другим сторонам, получится параллелограмм. Его стороны равны половинам сторон a и b, поэтому периметр равен a + b.
Где ошибаются чаще всего
- Путают среднюю линию треугольника и трапеции. У треугольника она равна половине одной стороны, у трапеции — полусумме двух оснований. Формулы разные.
- Берут не ту сторону. Средняя линия равна половине стороны, которой она параллельна, а не любой из тех, на которых лежат её концы. Сначала определи, какая сторона параллельна.
- Делят площадь пополам. Длина уменьшается вдвое, а площадь маленького треугольника в 4 раза. Площадь 48 превращается в 12, а не в 24.
- Называют средней линией любой отрезок внутри треугольника. Отрезок параллелен стороне, но если его концы не середины сторон, теорема к нему не применима.
Задания по теме на этой странице
Ученики присылают в основном задачи на периметр: найти периметр треугольника из середин сторон, периметр второго треугольника, длину средней линии равностороннего треугольника. Часто встречается и клетчатая бумага, где нужно найти среднюю линию, параллельную заданной стороне.
Посмотри список заданий выше: скорее всего, там есть такое же или похожее с полным ходом решения. Если своего не нашлось, сфотографируй условие и отправь на сайт, чтобы получить решение по шагам.