Формулы площадей фигур, которые нужно помнить
Почти все задания по теме сводятся к нескольким формулам. Буквой h обозначена высота, то есть перпендикуляр к стороне, а не сама наклонная сторона.
- Прямоугольник: S = a × b. Квадрат: S = a².
- Параллелограмм: S = a × h, где h проведена к стороне a. Если известны две стороны и угол между ними, то S = a × b × sin α.
- Треугольник: S = ½ × a × h. Через две стороны и угол между ними: S = ½ × a × b × sin α. Если известен радиус r вписанной окружности, то S = p × r, где p — полупериметр.
- Трапеция: S = ½ × (a + b) × h, где a и b — основания.
- Ромб: S = a × h или S = ½ × d₁ × d₂, где d₁ и d₂ — диагонали.
Свойства четырёхугольников подробнее разобраны на страницах про параллелограмм и трапецию. Если в условии есть угол, а высоты нет, пригодятся синус, косинус и тангенс.
Как найти площадь фигуры на клетчатой бумаге
Задания «найдите площадь фигуры, изображённой на клетчатой бумаге» встречаются чаще всего. Есть три способа, выбирай по рисунку.
1. Формула. Если фигура похожа на треугольник, трапецию или параллелограмм, считай по формуле. Основания и высоту читай по клеткам.
2. Разбиение. Раздели фигуру на прямоугольники и прямоугольные треугольники, посчитай каждую часть и сложи. Так решают и площадь составленных фигур.
3. Достроить и вычесть. Обведи фигуру прямоугольником по клеткам, найди его площадь и вычти лишние треугольники по углам. Этот способ удобен для косых треугольников.
Есть ещё формула Пика, если все вершины лежат в узлах сетки: S = В + Г ÷ 2 − 1, где В — число узлов внутри фигуры, Г — число узлов на её границе. Проверка на прямоугольнике 3 × 2: внутри 2 узла, на границе 10, S = 2 + 5 − 1 = 6.
Смотри, чему равна сторона клетки. Если в условии «1 см» или «1 × 1», клетка даёт 1 см². Если сторона клетки другая, посчитай площадь в клетках и умножь на площадь одной клетки.
Разбор задания: трапеция на клетчатой бумаге
Условие. На клетчатой бумаге с размером клетки 1 × 1 изображена трапеция. Нижнее основание занимает 7 клеток, верхнее — 3 клетки, расстояние между ними по вертикали — 4 клетки. Найдите площадь.
Шаг 1. Основания трапеции — две параллельные стороны, здесь горизонтальные: a = 7 и b = 3.
Шаг 2. Высота — расстояние между основаниями, считаем по вертикали: h = 4. Боковые стороны не нужны.
Шаг 3. Подставляем: S = ½ × (7 + 3) × 4 = ½ × 10 × 4 = 20.
Проверка разбиением. Верхнее основание вместе с отрезком вниз даёт прямоугольник 3 × 4 = 12. По бокам остаются два прямоугольных треугольника с катетами 2 и 4, у каждого S = ½ × 2 × 4 = 4. Итого 12 + 4 + 4 = 20, ответ сошёлся.
Если клетка другая. При стороне клетки 2 одна клетка равна 4, и площадь будет 20 × 4 = 80. При стороне 0,2 одна клетка равна 0,04, и площадь будет 20 × 0,04 = 0,8.
Площадь по условию без рисунка
В заданиях без клеток обычно дано что-то одно, а нужно найти другое. Типичные случаи:
- Площадь параллелограмма 36, стороны 6 и 9. Высота к стороне 9 равна 36 ÷ 9 = 4, высота к стороне 6 равна 36 ÷ 6 = 6. Большая высота проведена к меньшей стороне.
- Прямоугольный треугольник с гипотенузой 10 и углом 45° равнобедренный, катеты равны 10 ÷ √2 = 5√2, поэтому S = ½ × 5√2 × 5√2 = 25.
- Квадрат, описанный вокруг окружности радиусом r, имеет сторону 2r, значит S = 4r².
Если не хватает стороны, её часто находят по теореме Пифагора. Площадь круга и его частей разобрана на странице про длину окружности и площадь круга.
Где ошибаются чаще всего
Вместо высоты берут боковую сторону. В параллелограмме и трапеции наклонная сторона длиннее высоты. Высота всегда перпендикулярна основанию, на клетчатой бумаге её удобно считать по линиям сетки.
Забывают ½ у треугольника. Произведение основания на высоту даёт площадь параллелограмма, у треугольника она вдвое меньше. Прикинь: треугольник занимает ровно половину прямоугольника вокруг себя.
Умножают длину клетки, а не площадь. При стороне клетки 2 площадь растёт в 4 раза, а не в 2. Площадь одной клетки равна квадрату её стороны.
Путают высоты параллелограмма. Их две, и они проведены к разным сторонам: чем длиннее сторона, тем меньше высота к ней. Перед ответом перечитай, какая высота нужна, большая или меньшая.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего присылают площадь фигуры на клетчатой бумаге: треугольник, трапеция, ромб, многоугольник, иногда с нестандартной клеткой вроде 0,2 или 2. Часто встречаются параллелограмм с высотами, треугольник с вписанной окружностью, задачи по плану участка и несколько доказательств.
Посмотри список заданий над текстом и найди похожее по фигуре и числам: у каждого есть полный ход решения. Если своего не нашёл, сфотографируй задание и отправь на сайт, чтобы получить решение по шагам.