Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс угла
Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла определяют через стороны прямоугольного треугольника. Они нужны в 8–9 классе, чтобы находить стороны и углы, а потом они понадобятся в теоремах синусов и косинусов.
Пусть в треугольнике ABC угол C прямой, а нас интересует угол A. Катет BC лежит напротив угла A, катет AC прилегает к нему, AB — гипотенуза.
- sin A = противолежащий катет ÷ гипотенуза = BC ÷ AB
- cos A = прилежащий катет ÷ гипотенуза = AC ÷ AB
- tg A = противолежащий катет ÷ прилежащий = BC ÷ AC
- ctg A = прилежащий катет ÷ противолежащий = AC ÷ BC
Из определений следуют формулы: tg A = sin A ÷ cos A, ctg A = 1 ÷ tg A, sin² A + cos² A = 1. Последняя — это теорема Пифагора, разделённая на AB². Поэтому по синусу острого угла можно найти косинус без чертежа: если sin A = 4/5, то cos A = √(1 − 16/25) = 3/5.
Таблица синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов
Значения для 30°, 45° и 60° нужно помнить наизусть:
- 30°: sin = ½, cos = √3/2, tg = √3/3, ctg = √3
- 45°: sin = √2/2, cos = √2/2, tg = 1, ctg = 1
- 60°: sin = √3/2, cos = ½, tg = √3, ctg = √3/3
Для крайних углов: sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0; sin 90° = 1, cos 90° = 0, а tg 90° не существует, потому что на cos 90° = 0 делить нельзя.
Остальные значения берут из таблицы или считают на калькуляторе в режиме градусов, а не радианов. Синус и косинус любого угла лежат от −1 до 1, поэтому sin α = 5 или cos α = 2,03 невозможны.
Как решать задачу на синус, косинус и тангенс угла
Задача. В треугольнике ABC угол C = 90°, BC = 9, sin A = 3/5. Найди AB, AC и tg A.
- Запиши определение: sin A = BC ÷ AB, то есть 3/5 = 9 ÷ AB.
- Найди гипотенузу: AB = 9 ÷ 3/5 = 9 × 5/3 = 15.
- Второй катет найди по теореме Пифагора: AC = √(15² − 9²) = √(225 − 81) = √144 = 12.
- Тангенс: tg A = BC ÷ AC = 9/12 = 3/4.
Проверка: cos A = 12/15 = 4/5, и (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.
Если в условии тангенс, гипотенуза не нужна. Например, при tg A = 3/4 и AC = 20 получаем BC = tg A × AC = 15, потому что тангенс связывает два катета.
Синус, косинус и тангенс угла 120° и других тупых углов
Углы 120° и 135° тупые, и для них используют смежный угол (180° − α). Подробнее о таких углах — в теме смежные и вертикальные углы. Формулы приведения:
- sin(180° − α) = sin α
- cos(180° − α) = −cos α
- tg(180° − α) = −tg α
Угол 120° = 180° − 60°, поэтому sin 120° = √3/2, cos 120° = −½, tg 120° = −√3. Для 135° = 180° − 45°: sin 135° = √2/2, cos 135° = −√2/2, tg 135° = −1.
Пример: tg 135° − cos 120° = −1 − (−½) = −½. Обрати внимание на минус перед скобкой: вычитание отрицательного числа даёт плюс.
Где ошибаются чаще всего
- Путают противолежащий и прилежащий катет. Они зависят от угла: для угла B катеты меняются ролями. Сначала отметь на чертеже нужный угол и только потом пиши отношение. Если A + B = 90° (см. сумму углов треугольника), то sin B = cos A.
- Теряют знак у тупого угла. Косинус и тангенс тупого угла отрицательные: cos 120° = −½, а не ½.
- Переворачивают тангенс. Правильно: tg A = sin A ÷ cos A, то есть противолежащий катет делят на прилежащий, а не наоборот.
- Считают в неверном режиме калькулятора. Для углов в градусах нужен режим DEG, иначе sin 30° не получится ½.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
По этой теме чаще всего присылают такие задания:
- найти сторону прямоугольного треугольника по синусу, косинусу или тангенсу;
- найти cos или tg угла в равнобедренном треугольнике, проведя высоту к основанию;
- вычислить значение выражения с углами 120° или 135°;
- найти острый угол по таблице или калькулятору;
- решить прямоугольный треугольник по двум сторонам;
- найти тангенс угла на клетчатой бумаге.
Найди похожее задание в списке выше и сравни ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснениями по шагам.