Что такое метод координат
Метод координат — это способ решать геометрические задачи с помощью чисел. Ты вводишь систему координат, записываешь координаты нужных точек и дальше считаешь: длины, середины отрезков, углы, расстояния. Чертёж остаётся вспомогательным, главную работу делают формулы.
На плоскости у точки две координаты (x; y), в пространстве три (x; y; z). Метод координат в пространстве изучают в 11 классе, он особенно выручает в стереометрии на ЕГЭ, где угол или расстояние трудно увидеть на рисунке. Основа метода — векторы: почти все формулы записываются через их координаты.
Основные формулы метода координат
Для точек A(x₁; y₁; z₁) и B(x₂; y₂; z₂) нужны такие формулы:
- Координаты вектора AB: (x₂ − x₁; y₂ − y₁; z₂ − z₁). Из координат конца вычитают координаты начала.
- Длина вектора и расстояние между точками: |AB| = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²). Это теорема Пифагора в координатах.
- Середина отрезка: M((x₁ + x₂)/2; (y₁ + y₂)/2; (z₁ + z₂)/2).
- Скалярное произведение: a × b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂.
- Косинус угла между векторами: cos φ = (a × b) / (|a| × |b|).
- Перпендикулярность: векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно 0.
- Окружность с центром (a; b) и радиусом r: (x − a)² + (y − b)² = r². Если центр в начале координат, получается x² + y² = r². Подробнее про фигуру — в теме окружность.
Расстояние от точки до оси считают по «чужим» координатам. От точки A(1; 3) до оси абсцисс оно равно |3| = 3, то есть модулю ординаты.
Как найти угол между прямыми методом координат
Разберём задачу. Найти угол между прямыми AB и CD, если A(1; 0; 3), B(3; 1; 5), C(0; 4; 1), D(1; 2; 3).
Шаг 1. Находим координаты направляющих векторов. AB = (3 − 1; 1 − 0; 5 − 3) = (2; 1; 2). CD = (1 − 0; 2 − 4; 3 − 1) = (1; −2; 2).
Шаг 2. Считаем скалярное произведение: 2×1 + 1×(−2) + 2×2 = 2 − 2 + 4 = 4.
Шаг 3. Считаем длины: |AB| = √(4 + 1 + 4) = 3, |CD| = √(1 + 4 + 4) = 3.
Шаг 4. Угол между прямыми не бывает тупым, поэтому берём модуль: cos φ = |4| / (3×3) = 4/9.
Ответ: φ = arccos(4/9), это примерно 63,6°.
Так же решаются задачи про угол между прямыми в призме или пирамиде. Начало координат ставят в вершину, оси направляют по рёбрам, которые выходят из неё под прямыми углами. Длину ребра берут удобную, например 1 или 2, если в условии нет числа.
Где ошибаются чаще всего
- Путают конец и начало вектора. Координаты вектора AB — это B минус A, а не наоборот. Если перепутать, у вектора поменяются все знаки.
- Теряют модуль при угле между прямыми. Угол между векторами может быть тупым, а между прямыми — только от 0° до 90°. Если косинус получился отрицательным, отбрось знак минус.
- Ошибаются в знаках в уравнении окружности. Для центра (−5; 1) и радиуса 4 уравнение такое: (x + 5)² + (y − 1)² = 16. Знак у числа в скобках противоположен знаку координаты центра, а справа стоит r², то есть 16, а не 4.
- Принимают за окружность то, что ею не является. Уравнение x² + y² = −4 не задаёт ничего: сумма квадратов не бывает отрицательной. Уравнение (x − 5)² − y² = 16 тоже не окружность, потому что между квадратами стоит минус.
Какие задания присылают ученики и как пользоваться страницей
По этой теме ученики 9–11 классов чаще всего присылают задачи на координаты и длину вектора, середину отрезка, расстояние между точками и уравнение окружности. Из более сложных попадаются угол между прямыми и векторами, вид треугольника по координатам вершин, пирамида, заданная векторами, и задачи на призму.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё: рядом с каждым есть полный ход решения. Если подходящего нет, сфотографируй своё условие и получи решение с разбором по шагам. Для задач, где нужны перпендикуляры к плоскостям, пригодится тема перпендикулярность в пространстве.