Что такое движения в геометрии
Движение — это такое преобразование плоскости или пространства, при котором расстояние между любыми двумя точками остаётся прежним. Если точки A и B перешли в A' и B', то A'B' = AB. Фигура при этом не растягивается и не сжимается, она только переезжает на другое место или отражается.
Поэтому образ фигуры при движении равен самой фигуре. Отрезок переходит в отрезок той же длины, угол в равный угол, треугольник в равный треугольник (о равенстве треугольников подробнее в теме признаки равенства треугольников). Прямые переходят в прямые, окружности в окружности того же радиуса.
Если выполнить одно движение, а потом другое, получится снова движение. Это часто используют в задачах на построение и доказательство.
Какие бывают виды движений
В школьном курсе обычно встречаются четыре вида движений на плоскости и ещё несколько в пространстве.
- Осевая симметрия. Каждая точка переходит в точку, лежащую по другую сторону от прямой (оси) на том же расстоянии, причём отрезок между ними перпендикулярен оси. Точки самой оси остаются на месте.
- Центральная симметрия. Каждая точка переходит в точку, для которой центр O является серединой отрезка. Это то же самое, что поворот на 180° вокруг O.
- Параллельный перенос. Все точки сдвигаются на один и тот же вектор. Как работать с координатами вектора, описано в теме векторы.
- Поворот. Фигура поворачивается вокруг центра на заданный угол.
В пространстве добавляется симметрия относительно плоскости, а перенос и центральная симметрия работают так же, как на плоскости, только с тремя координатами.
Если в задании нужно определить, какое движение перед тобой, смотри, что происходит с фигурой. Сдвиг без поворота — перенос. Зеркальное отражение — осевая симметрия. Переворот «вверх ногами» вокруг точки — центральная симметрия.
Формулы движений в координатах
Движения удобно считать в методе координат. Вот основные правила для точки A(x; y):
- перенос на вектор (a; b): A'(x + a; y + b);
- симметрия относительно оси Ox: A'(x; −y);
- симметрия относительно оси Oy: A'(−x; y);
- симметрия относительно начала координат: A'(−x; −y);
- симметрия относительно точки (p; q): A'(2p − x; 2q − y).
В пространстве у переноса просто появляется третья координата: вектор (a; b; c) даёт A'(x + a; y + b; z + c).
Разбор задания: найти прообраз точки при переносе
Задание. Найди точку, которая при параллельном переносе на вектор a(1; −2; 4) переходит в точку B(3; 0; −1).
Шаг 1. Запиши, как перенос действует на точку. Если прообраз — точка P(x; y; z), то её образ равен (x + 1; y − 2; z + 4).
Шаг 2. Приравняй образ к данной точке:
x + 1 = 3, y − 2 = 0, z + 4 = −1.
Шаг 3. Реши каждое уравнение: x = 2, y = 2, z = −5. Прообраз — точка P(2; 2; −5).
Шаг 4. Проверь. Прибавляем вектор: (2 + 1; 2 − 2; −5 + 4) = (3; 0; −1). Получилась точка B, значит, ответ верный.
Короткое правило: чтобы найти образ, координаты вектора прибавляют, чтобы найти прообраз, вычитают.
Где ошибаются чаще всего
- Путают образ и прообраз. Для прообраза вектор нужно вычесть, а не прибавить. Проверяй ответ обратным действием.
- Считают диагонали прямоугольника осями симметрии. У прямоугольника две оси: прямые через середины противоположных сторон. Диагонали осями не являются, исключение — квадрат, у которого осей четыре. У параллелограмма, который не прямоугольник и не ромб, осей симметрии нет, зато есть центр симметрии (см. параллелограмм).
- Меняют не ту координату. При симметрии относительно Ox знак меняется у y, при симметрии относительно Oy — у x.
- Путают центральную симметрию и осевую. При центральной симметрии меняются знаки обеих координат, а у осевой только одной.
Какие задания присылают ученики
По этой теме на сайте есть три задания: найти прообраз точки при параллельном переносе в пространстве, выбрать оси симметрии прямоугольника по рисунку и заполнить рисунки с учётом осевой или центральной симметрии. Задания приходят из 6–11 классов.
Посмотри список выше: если там есть похожее, сравни ход решения со своим. Если не нашёл, сфотографируй своё задание и отправь, чтобы получить решение с пояснениями по шагам.