Что такое вектор и какие векторы называют равными
Вектор — направленный отрезок. Его задают двумя точками: AB означает вектор с началом в A и концом в B. Ещё векторы обозначают одной буквой со стрелкой, например вектор а и вектор b.
Вектором описывают то, что имеет направление: вектор скорости, сила, перемещение. Масса, температура, длина, площадь и работа направления не имеют, это обычные числа. Если в задании спрашивают, какие величины векторные, выбирай скорость и силу.
Равные векторы — это векторы с одинаковой длиной и одинаковым направлением. Где они начинаются, не важно: вектор можно отложить от любой точки. Поэтому в параллелограмме ABCD векторы AB и DC равны, а AB и CD нет, они направлены в противоположные стороны.
Векторы коллинеарны, если лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Векторы AB и BA всегда коллинеарны, но не равны: BA = −AB.
Как складывать и вычитать векторы
Есть два способа сложения.
- Правило треугольника. Откладываешь второй вектор от конца первого. Сумма идёт от начала первого к концу второго. Для любых трёх точек AB + BC = AC.
- Правило параллелограмма. Откладываешь оба вектора от одной точки и достраиваешь параллелограмм. Сумма — его диагональ из общей точки.
Цепочку из нескольких векторов складывают так же: соединяешь начало первого с концом последнего.
Чтобы вычесть, откладываешь a и b от одной точки. Вектор a − b идёт от конца b к концу a. Можно и так: a − b = a + (−b), где −b — вектор той же длины, направленный в обратную сторону.
При умножении на число k вектор растягивается в |k| раз. Если k > 0, направление сохраняется, если k < 0, меняется на противоположное. Вектор ½b вдвое короче b, а −3b втрое длиннее и смотрит назад.
Координаты вектора и его длина (модуль)
Если A(x₁; y₁) и B(x₂; y₂), то координаты вектора AB равны (x₂ − x₁; y₂ − y₁). Из координат конца вычитают координаты начала, не наоборот. Подробнее о точках и осях в теме метод координат.
Длина вектора, или модуль вектора, считается по теореме Пифагора: для вектора (x; y) она равна √(x² + y²). Об этой теореме есть отдельная страница: теорема Пифагора.
Пример: вектор c(5; −12). Его модуль √(25 + 144) = √169 = 13. Модуль вектора −c тоже 13, а модуль 2c равен 26, потому что |kc| = |k| × |c|.
Действия с координатами идут покоординатно. Для a(1; 2) и b(3; −1) вектор 2a + b имеет координаты (2 + 3; 4 − 1) = (5; 3).
Скалярное произведение векторов a и b равно |a| × |b| × cos α, где α — угол между ними. В координатах: x₁x₂ + y₁y₂. Проекция вектора на ось координат — это его координата вдоль этой оси.
Разбор задания: разложить вектор в параллелограмме
Условие. В параллелограмме ABCD точка K — середина стороны CD. AB = a, AD = b. Выразите вектор AK через a и b.
- Ищем путь от A до K по известным векторам. Удобно идти через D: AK = AD + DK.
- AD — это b.
- DK составляет половину DC, потому что K — середина. DC и AB равны как противоположные стороны параллелограмма, значит DC = a и DK = ½a.
- Складываем: AK = b + ½a.
Ответ: AK = ½a + b.
Проверка: пойдём другим путём, через B и C. AK = AB + BC + CK = a + b − ½a = ½a + b. Результат тот же. Свойства фигуры собраны на странице параллелограмм, а похожий приём работает в задачах про среднюю линию треугольника: KL = ½AC, и векторы KL и AC сонаправлены.
Где ошибаются чаще всего
Длина суммы не равна сумме длин. В треугольнике ABC с прямым углом B и катетами AB = 6, BC = 8 сумма |AB| + |BC| равна 14, а |AB + BC| = |AC| = 10. Длины складываются только у векторов одного направления.
Путают порядок в координатах. Для вектора AB нужно брать конец минус начало. Если вычесть наоборот, получится вектор BA с противоположными знаками.
Считают AB и BA равными. Они одной длины, но направлены противоположно, так что AB = −BA.
Считают равными диагонали параллелограмма. AC и BD имеют разные направления, а в общем случае и разные длины. Зато AO и OC равны: O — середина AC, и оба вектора смотрят в одну сторону.
Ставят знак минус у модуля. Длина не бывает отрицательной: |−b| = |b|.
Какие задания по векторам присылают ученики
Чаще всего это девятиклассники. Они присылают построение суммы и разности векторов, построение векторов вида 2a + ½b, разложение векторов в параллелограмме и трапеции, модуль вектора по координатам, действия с координатами, скалярное произведение, а также векторное доказательство теоремы о средней линии.
Посмотри список заданий выше: если в нём есть похожее на твоё, открой его и сравни ход решения со своим. Если не нашёл, сфотографируй своё задание и отправь на сайт, тогда решение придёт с пояснением каждого шага. Для построений сначала посмотри страницу про задачи на построение.