Что такое подобие треугольников и коэффициент подобия
Подобные треугольники получаются друг из друга увеличением или уменьшением всех сторон в одно и то же число раз. Углы при этом не меняются. Такие задачи встречаются, когда внутри треугольника проведена прямая, параллельная стороне, когда в трапеции пересекаются диагонали, а также в задачах про высоту в прямоугольном треугольнике.
Запись △ABC ∼ △A₁B₁C₁ означает, что:
- ∠A = ∠A₁, ∠B = ∠B₁, ∠C = ∠C₁;
- AB : A₁B₁ = BC : B₁C₁ = AC : A₁C₁ = k.
Число k называют коэффициентом подобия треугольников. Если k = 1, треугольники просто равны.
Порядок букв в записи важен: вершины пишут в соответственном порядке. Соответственные стороны лежат против равных углов. Если ∠A = ∠A₁ и ∠B = ∠B₁, то стороне BC соответствует B₁C₁, а не A₁C₁.
Признаки подобия треугольников
Чтобы доказать подобие, не нужно проверять все углы и все стороны. Достаточно одного из трёх признаков.
- По двум углам. Если два угла одного треугольника равны двум углам другого, треугольники подобны. Третьи углы тоже окажутся равными, ведь сумма углов треугольника всегда 180°.
- По двум сторонам и углу между ними. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы между этими сторонами равны, треугольники подобны.
- По трём сторонам. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого, треугольники подобны.
Первый признак используют чаще всего. Равные углы обычно находят так: вертикальные углы равны, а при параллельных прямых равны накрест лежащие и соответственные углы. Общий угол двух треугольников тоже считается равным.
У прямоугольных треугольников достаточно одного острого угла: прямой угол у них уже есть. Поэтому подобие прямоугольных треугольников проверяют быстрее обычного.
Как найти подобие треугольников: разбор задания
Задание. В треугольнике ABC проведена прямая MN ∥ AC, точка M лежит на AB, точка N на BC. Известно, что AB = 20, BM = 8, MN = 6. Найдите AC.
Шаг 1. Найди пару подобных треугольников. Это △BMN и △BAC. Угол B у них общий. ∠BMN = ∠BAC как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB. Значит, треугольники подобны по двум углам.
Шаг 2. Определи соответственные стороны. BM соответствует BA, MN соответствует AC. Коэффициент подобия k = BM : BA = 8 : 20 = 2 : 5.
Шаг 3. Составь пропорцию. MN : AC = 2 : 5, то есть 6 : AC = 2 : 5.
Шаг 4. Реши. AC = 6 × 5 ÷ 2 = 15.
Обрати внимание: в условии дана длина всей стороны AB, а не отрезка AM. Если нужен AM, он равен 20 − 8 = 12.
Тот же способ работает в трапеции. Пусть диагонали пересекаются в точке O, AD ∥ BC, AD = 15, BC = 9, AO = 10, нужно найти OC. Треугольники AOD и COB подобны: ∠AOD = ∠COB как вертикальные, ∠OAD = ∠OCB как накрест лежащие. Тогда AO : OC = AD : BC, откуда OC = 10 × 9 ÷ 15 = 6.
Иногда в задании нужно доказать подобие, а не найти длину. Тогда проверь отношения сторон. Если в треугольниках пропорциональны две стороны и равен угол между ними, подойдёт второй признак.
Подобие площадей треугольника: чему равно отношение площадей
Если коэффициент подобия равен k, то периметры относятся как k, а площади подобных треугольников относятся как k². Все линейные размеры (стороны, высоты, медианы) умножаются на k, а площадь зависит от двух измерений сразу. Подробнее про саму площадь читай в теме площади фигур.
Пример. Стороны подобных треугольников относятся как 2 : 5. Площадь меньшего равна 12 см². Найдите площадь большего.
Отношение площадей равно 2² : 5² = 4 : 25. Составляем пропорцию: 12 : S = 4 : 25, откуда S = 12 × 25 ÷ 4 = 75 см².
Часто в условии даны не сами площади, а их разность. Например, площадь большего на 36 м² больше площади меньшего, а стороны относятся как 1 : 2. Площади относятся как 1 : 4, то есть одна часть и четыре части. Разность в три части равна 36, значит, часть равна 12. Площади: 12 м² и 48 м².
Где ошибаются чаще всего
- Пропорция составлена по несоответственным сторонам. Прежде чем писать отношение, определи, какие углы равны, и найди стороны, лежащие против них. Удобно выписать вершины двух треугольников друг под другом.
- Площади делят как стороны. Если k = 3 : 7, площади относятся как 9 : 49. Число k² нужно только для площадей, для сторон используется сам k.
- Путают отрезок и всю сторону. В задачах с параллельной прямой в треугольнике подобны BMN и BAC, а не BMN и AMNC. Сторона большего треугольника — это AB целиком, а не AM.
- Во втором признаке угол не между сторонами. Пропорциональность двух сторон и равенство угла, который не лежит между ними, подобия не гарантируют. Проверь, что угол образован именно этими сторонами.
- Подобие принимают за равенство. Равные треугольники совпадают по размеру, а подобные нет. Для равенства нужны другие признаки, и коэффициент там всегда 1.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят задачи на прямую, параллельную стороне треугольника, на диагонали трапеции и на подобие прямоугольных треугольников. Много заданий на доказательство по двум углам или по двум сторонам и углу, на отношение площадей и на среднюю линию на клетчатой бумаге (она отсекает треугольник с k = ½, подробнее в теме средняя линия треугольника). Встречаются и более трудные задачи на отношения отрезков: метод масс, теоремы Чевы и Менелая.
Сначала посмотри список заданий над текстом: возможно, там есть задача с похожим чертежом и условием. Если своей не нашёл, сфотографируй задание и получи решение с полным ходом. Сравни его со своим: так проще понять, на каком шаге возникла ошибка.