Что такое многоугольник
Многоугольник — это фигура, которую ограничивает замкнутая ломаная без самопересечений. Звенья ломаной называют сторонами, их концы — вершинами. Сколько вершин, столько и сторон, и столько же углов: у пятиугольника 5 вершин, 5 сторон и 5 углов. Если ты ищешь, сколько сторон имеет многоугольник, смотри на его название: число в начале и есть ответ.
Отрезок, который соединяет две вершины, не лежащие на одной стороне, называют диагональю. В четырёхугольнике их две, в треугольнике нет ни одной.
Выпуклый многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через его сторону. Все углы такого многоугольника меньше 180°. В школьных задачах 8 класса почти всегда речь о выпуклых многоугольниках.
Многоугольник называют правильным, если у него равны все стороны и все углы. Квадрат — правильный четырёхугольник, равносторонний треугольник — правильный треугольник.
Сумма углов выпуклого многоугольника и угол правильного
Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180° × (n − 2). Формула получается так: из одной вершины проводят все диагонали, и многоугольник делится на n − 2 треугольника. В каждом из них сумма углов 180°, о чём подробно в теме про сумму углов треугольника.
Полезно помнить несколько значений:
- четырёхугольник: 360°
- пятиугольник: 540°
- шестиугольник: 720°
- восьмиугольник: 1080°
- десятиугольник: 1440°
Если многоугольник правильный, каждый угол выпуклого многоугольника равен 180° × (n − 2) ÷ n. У правильного шестиугольника это 120°, у правильного девятиугольника 140°.
Есть и второе правило: сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° при любом n. Внешний угол — это угол, смежный с внутренним, поэтому внутренний плюс внешний дают 180°. Про такие пары углов рассказано в теме смежные и вертикальные углы.
Периметр многоугольника
Периметр многоугольника — сумма длин всех его сторон. Если стороны равны, как у правильного многоугольника, периметр равен длине одной стороны, умноженной на их число: у правильного семиугольника со стороной 4 см периметр 7 × 4 = 28 см.
В задачах на периметр часто дают отношения или разности сторон. Например, вторая сторона на 2 см больше первой, третья на 6 см больше второй. Тогда первую сторону обозначают x, остальные выражают через неё, складывают всё и приравнивают к периметру.
Отдельный тип — фигура из прямых углов со ступеньками, где подписаны не все стороны. Её периметр равен периметру прямоугольника, в который она вписана. Достаточно найти его ширину и высоту через подписанные длины.
Разбор задания: углы четырёхугольника в отношении
Условие. Углы четырёхугольника относятся как 2 : 3 : 3 : 4. Найди меньший угол.
- Сумма углов четырёхугольника равна 180° × (4 − 2) = 360°.
- Обозначь углы 2x, 3x, 3x и 4x. Их сумма: 2x + 3x + 3x + 4x = 12x.
- Составь уравнение: 12x = 360°, значит x = 30°.
- Углы равны 60°, 90°, 90° и 120°. Проверка: 60 + 90 + 90 + 120 = 360.
Ответ: меньший угол 60°.
Так же решают и обратную задачу про число сторон. Сумма углов 1440°. Тогда 180° × (n − 2) = 1440°, откуда n − 2 = 8 и n = 10. Это десятиугольник.
Где ошибаются чаще всего
- Умножают на n вместо n − 2. Для пятиугольника получается 900° вместо 540°. Нарисуй многоугольник и проведи диагонали из одной вершины: треугольников всегда на два меньше, чем сторон.
- Забывают вычесть 2 при поиске числа сторон. Сумма 1440° даёт 1440 ÷ 180 = 8, но это n − 2, а не n. Ответ 10 сторон.
- Путают внутренний и внешний угол. Внешний угол равен 180° минус внутренний. Если внешний угол 96°, смежный с ним внутренний равен 84°.
- Складывают только подписанные стороны у фигуры с прямыми углами. Недостающие стороны находят вычитанием: если вся ширина 23, а часть её 9 и 7, оставшийся кусок равен 23 − 9 − 7 = 7.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят задачи на сумму углов четырёхугольника и других многоугольников, на углы в заданном отношении, на число сторон по сумме углов и на внешние углы. Встречаются периметр четырёхугольника с диагональю на рисунке, периметр фигуры из прямых углов и угол правильного девятиугольника. Есть и задачи на параллелограмм и трапецию, которые тоже решают через свойства четырёхугольников.
Найди похожее задание в списке выше и посмотри ход решения. Если своего нет, сфотографируй условие и отправь: получишь решение по шагам.