Перпендикулярность в пространстве, 10 класс: примеры с решением

В планиметрии перпендикулярны две прямые, которые пересекаются под углом 90°. В стереометрии таких случаев три.

• Перпендикулярность прямых в пространстве. Угол между прямыми равен 90°. Прямые не обязаны пересекаться: скрещивающиеся прямые тоже бывают перпендикулярными. Для них угол находят, сдвинув одну прямую параллельно себе так, чтобы она пересекла другую.
• Прямая и плоскость. Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Тогда любой отрезок на такой прямой, упирающийся в плоскость, называют перпендикуляром к плоскости.
• Две плоскости. Плоскости перпендикулярны, если двугранный угол между ними равен 90°.

В большинстве заданий 10 класса нужно найти расстояние: от точки до плоскости, до прямой или между двумя точками. Всё сводится к поиску прямоугольного треугольника и теореме Пифагора. Перпендикулярность прямых и плоскостей часто идёт в паре с параллельностью в пространстве, так что признаки полезно учить вместе.

Чтобы не проверять перпендикулярность прямой всем прямым плоскости, есть короткие признаки.

• Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, она перпендикулярна самой плоскости. Слово «пересекающимся» обязательно.
• Признак перпендикулярности плоскостей. Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.
• Признак перпендикулярности прямых. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и вторая ей перпендикулярна.

Полезное следствие для перпендикулярных плоскостей: если прямая лежит в одной из них и перпендикулярна линии их пересечения, она перпендикулярна и другой плоскости. Именно так доказывают, что в двух перпендикулярных плоскостях отрезки AC и BD, опущенные на линию пересечения, перпендикулярны второй плоскости.

Есть и векторный способ. Ненулевые векторы перпендикулярны, когда их скалярное произведение равно нулю. В координатах это условие перпендикулярности векторов: x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂ = 0. Подробнее про это в темах векторы и метод координат.

Пусть AH — перпендикуляр к плоскости α, а AB — наклонная, где B лежит в α. Отрезок HB называется проекцией наклонной. Треугольник AHB прямоугольный, поэтому:

AB² = AH² + HB²

Из этого следуют два факта, которые нужны почти в каждой задаче. Если из одной точки проведены две наклонные, то большая наклонная имеет большую проекцию, а равные наклонные имеют равные проекции. Отсюда: точка, равноудалённая от вершин треугольника, проектируется в центр его описанной окружности.

Угол между наклонной и плоскостью — это угол между наклонной и её проекцией, то есть угол ABH. Его находят через синус, косинус или тангенс в треугольнике AHB.

Теорема о трёх перпендикулярах. Прямая a лежит в плоскости α. Она перпендикулярна проекции наклонной на α тогда и только тогда, когда она перпендикулярна самой наклонной. С её помощью находят расстояние от точки до прямой: проводят перпендикуляр к плоскости, затем перпендикуляр из его основания к прямой, и соединяют точку с основанием второго перпендикуляра.

Условие. Стороны треугольника ABC равны 9 см, 12 см и 15 см. Из вершины A меньшего угла проведён перпендикуляр AM к плоскости треугольника, AM = 16 см. Найдите расстояние от точки M до противоположной стороны.

Шаг 1. Выясняем вид треугольника. Проверяем: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15². Треугольник прямоугольный, гипотенуза 15 см.

Шаг 2. Находим вершину меньшего угла. Меньший угол лежит напротив меньшей стороны. Это сторона BC = 9 см. Значит, противоположная вершине A сторона — BC, а прямой угол C находится между сторонами 9 и 12, то есть AC = 12 см.

Шаг 3. Применяем теорему о трёх перпендикулярах. MA перпендикулярен плоскости, AC — проекция наклонной MC, и AC ⊥ BC. Значит, MC ⊥ BC, и расстояние от M до BC равно длине MC.

Шаг 4. Считаем. Треугольник MAC прямоугольный: MC² = MA² + AC² = 16² + 12² = 256 + 144 = 400. Отсюда MC = 20 см.

Ответ: 20 см.

• Путают расстояние до плоскости и до прямой. До плоскости расстояние — это сам перпендикуляр (например, AM). До прямой — отрезок, перпендикулярный этой прямой (в разборе выше это MC). Они разные, и в условии «найдите расстояние до стороны» нужна вторая величина.
• Забывают, что нужны две пересекающиеся прямые. Перпендикулярности одной прямой плоскости мало: прямая может быть перпендикулярна ей и всё равно наклонена к плоскости.
• Неверно считают проекцию отрезка, концы которого лежат по разные стороны плоскости. Пример: отрезок длиной 5 см пересекает плоскость, концы удалены на 1 см и 2 см. Расстояния складываются: 1 + 2 = 3, проекция равна √(25 − 9) = 4 см. Если бы концы были по одну сторону, взяли бы разность: 2 − 1 = 1, и проекция была бы √24.
• Путают наклонную с проекцией в теореме о трёх перпендикулярах. Прямая в плоскости сравнивается с проекцией, а вывод делается о наклонной, и наоборот. Сначала нарисуй перпендикуляр к плоскости, это снимает путаницу.
• Теряют формулу для двух перпендикулярных плоскостей. Если AC и BD опущены на линию пересечения, то AB² = AC² + CD² + BD².

По этой теме ученики чаще всего присылают задачи на перпендикуляр и наклонные: найти расстояние от точки до плоскости, до стороны треугольника, длину проекции. Встречаются задачи на угол между прямой и плоскостью, на двугранный угол, на отрезок между точками в перпендикулярных плоскостях, а также теоретические: сформулировать признак или доказать свойство перпендикулярных плоскостей.

Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения: обычно достаточно понять, какой прямоугольный треугольник там выбран. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробным ходом.