Какие бывают тела вращения
Тело вращения получается, когда плоскую фигуру поворачивают вокруг прямой, которая называется осью. В школьной геометрии таких тел три:
- Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон.
- Конус получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг катета.
- Шар получается при вращении полукруга вокруг его диаметра.
Если в задаче спрашивают, какое тело вращения получится, смотри на фигуру и на ось. Прямоугольник вокруг стороны даёт цилиндр, а прямоугольный треугольник вокруг катета даёт конус. Тот же треугольник, повёрнутый вокруг гипотенузы, даёт два конуса с общим основанием. Эту ситуацию часто забывают.
Формулы для цилиндра, конуса и шара
Во всех формулах R обозначает радиус основания, h высоту, l образующую конуса.
Цилиндр
- площадь боковой поверхности: 2πRh
- площадь полной поверхности: 2πR(R + h)
- объём: πR²h
- осевое сечение: прямоугольник со сторонами 2R и h
Конус
- образующая, высота и радиус связаны так: l² = R² + h²
- площадь боковой поверхности: πRl
- площадь полной поверхности: πR(R + l)
- объём: ⅓πR²h
- осевое сечение: равнобедренный треугольник с основанием 2R и боковыми сторонами l
Шар
- площадь поверхности: 4πR²
- объём: 4πR³ ÷ 3
- сечение плоскостью: круг, радиус которого r находится из r² = R² − d², где d расстояние от центра шара до плоскости
Почти все задачи сводятся к тому, чтобы найти радиус тела вращения и высоту. Для этого в сечении ищут прямоугольный треугольник и применяют теорему Пифагора. Основание у цилиндра и конуса круглое, поэтому пригодятся формулы из темы длина окружности и площадь круга.
Разбор задачи на конус по шагам
Задача. Боковая поверхность конуса в 2 раза больше площади основания. Радиус основания равен 6 см. Найти объём конуса и угол между образующей и основанием.
Шаг 1. Запиши условие формулой. Площадь боковой поверхности πRl, площадь основания πR². Получается πRl = 2πR².
Шаг 2. Сократи на πR. Выходит l = 2R = 12 см.
Шаг 3. Найди угол. В осевом сечении образующая, высота и радиус образуют прямоугольный треугольник, где радиус является катетом, а образующая гипотенузой. Искомый угол лежит между образующей и радиусом, поэтому cos α = R ÷ l = 6 ÷ 12 = ½. Значит, α = 60°. Если забыл, как связаны стороны и углы, посмотри синус, косинус, тангенс.
Шаг 4. Найди высоту: h = √(l² − R²) = √(144 − 36) = √108 = 6√3 см.
Шаг 5. Подставь в объём: V = ⅓ × π × 36 × 6√3 = 72√3π см³.
Ответ: 72√3π см³ и 60°. Для проверки сравни: в треугольнике с углом 60° катет, прилежащий к нему, действительно вдвое меньше гипотенузы.
Задачи на цилиндр: от площади основания до угла между прямыми
В простых задачах на цилиндр дают площадь основания и объём. Из πR² получают R, из πR²h получают h, а дальше подставляют в формулы площади поверхности и сечения. Диагональное сечение цилиндра является прямоугольником, у которого одна сторона равна высоте, а другая диаметру основания.
Задачи сложнее обычно про угол между скрещивающимися прямыми. Здесь работает один приём: через одну из точек проводят прямую, параллельную второй, и получают угол в обычном треугольнике. Образующая цилиндра перпендикулярна плоскости основания, поэтому прямоугольные треугольники в сечениях строятся легко. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°, и это даёт готовый прямой угол в основании. Подробнее об этом в темах перпендикулярность в пространстве и окружность.
Где ошибаются чаще всего
- Путают образующую и высоту конуса. Высота перпендикулярна основанию, образующая идёт по боковой поверхности и всегда длиннее высоты. В формулу объёма подставляют высоту, в формулу боковой поверхности образующую.
- Забывают ⅓ в объёме конуса. Объём цилиндра πR²h, а у конуса с тем же основанием и высотой он в три раза меньше.
- Берут диаметр вместо радиуса. В диагональном и осевом сечениях цилиндра сторона прямоугольника равна 2R, а не R.
- Считают только боковую поверхность, когда просят полную. К боковой нужно добавить площадь оснований: одно у конуса, два у цилиндра.
Задания по теме на сайте
Ученики присылают задачи на конус, цилиндр и шар: найти объём, площадь поверхности, угол наклона образующей, площадь сечения. Встречаются и задачи на угол между скрещивающимися прямыми в цилиндре. Посмотри список заданий выше и найди похожее по условию, у каждого есть полный ход решения. Если своей задачи там нет, сфотографируй её и получи решение по шагам. Объёмы других тел собраны в теме объёмы тел.