Что такое объём тела и какие формулы нужны
Объём измеряют в кубических единицах: см³, дм³, м³. Для жидкостей используют литры, и 1 л = 1 дм³ = 1000 см³. На этом переходе часто путаются, когда в задаче про коробку или аквариум просят ответ в литрах.
В школьных задачах встречаются такие формулы:
- параллелепипед с рёбрами a, b, c: V = abc;
- любая призма и цилиндр: V = Sосн × h;
- любая пирамида: V = ⅓ × Sосн × h;
- конус: V = ⅓ × πr² × h;
- шар: V = 4⁄3 × πR³.
Главное отличие пирамиды от призмы с тем же основанием и высотой: её объём ровно втрое меньше. Площадь основания считают по правилам из темы площади фигур. Про сами фигуры читай в разделах многогранники и тела вращения.
Как найти объём тела: разбор задания
Задача. Объём правильной четырёхугольной пирамиды SABCD равен 20. Точка E — середина ребра SB. Найдите объём пирамиды EABC.
Шаг 1. Основание SABCD — квадрат ABCD. Диагональ AC делит его на два равных треугольника, поэтому площадь ABC равна половине площади квадрата.
Шаг 2. Пирамида EABC и исходная пирамида имеют основания в одной плоскости. Значит, сравнивать можно высоты, проведённые к этой плоскости.
Шаг 3. Точка B лежит в плоскости основания, а E — середина отрезка SB. Поэтому высота из E вдвое меньше высоты из S.
Шаг 4. Сравниваем объёмы: площадь основания уменьшилась в 2 раза, высота тоже в 2 раза. Тогда V(EABC) = 20 × ½ × ½ = 5.
Ответ: 5. Формулу объёма пирамиды здесь даже не пришлось применять. Достаточно сравнить основания и высоты.
Задачи на части тела: сравнивай, а не считай
Во многих заданиях сказано только «объём равен 12» или «объём равен 14», а размеров нет. Это значит, что нужно сравнить части с целым.
Три приёма, которые встречаются чаще всего:
- Общее основание или общая высота. Если у двух пирамид одна высота, их объёмы относятся как площади оснований. Если одинаковые основания, объёмы относятся как высоты. Так решается задача, где плоскость проходит через сторону основания и делит боковое ребро в отношении 1 : 2 от вершины. Пирамида, у которой вершина в точке деления, имеет высоту ⅔ от прежней, поэтому её объём равен ⅔ исходного.
- Отсечение углов. У тетраэдра с объёмом 14 середины рёбер дают многогранник, оставшийся после отсечения четырёх угловых тетраэдров. Каждый из них подобен исходному с коэффициентом ½, значит, его объём равен ⅛ от 14. Остаётся 14 − 4 × 14⁄8 = 7. Про коэффициент подобия можно прочитать в теме подобие треугольников: в пространстве объёмы относятся как куб коэффициента.
- Пирамида внутри параллелепипеда. Если параллелепипед имеет объём 4,5, то пирамида AD₁CB₁ получается отсечением четырёх угловых пирамид. Объём каждой равен ⅙ объёма параллелепипеда. Тогда V(AD₁CB₁) = 4,5 × (1 − 4⁄6) = 1,5.
Если тело составлено из нескольких параллелепипедов, как на рисунках в заданиях про многогранник с прямыми двугранными углами, достаточно разбить его на части и сложить объёмы.
Вода в сосуде и погружённая деталь
В таких заданиях сосуд обычно имеет форму правильной призмы. Объём воды равен площади основания, умноженной на высоту уровня.
Задача. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 1800 см³ воды. Уровень поднялся до 20 см. Затем в воду погрузили деталь, и уровень стал 23 см. Найдите объём детали.
- Найдём площадь основания: S = 1800 ÷ 20 = 90 см².
- Уровень поднялся на 23 − 20 = 3 см.
- Объём детали равен объёму слоя воды, на который она подняла уровень: V = 90 × 3 = 270 см³.
Ответ: 270 см³.
Если воду переливают в другой сосуд, объём воды не меняется. Когда сторона основания больше в 4 раза, площадь больше в 4² = 16 раз. Значит, уровень воды ниже в 16 раз: было 80 см, станет 5 см.
Где ошибаются чаще всего
- Забывают ⅓ у пирамиды. Считают Sосн × h, как для призмы, и получают ответ втрое больше. Если в условии пирамида или конус, сразу пиши ⅓.
- Путают коэффициент подобия и коэффициент объёмов. Если все линейные размеры уменьшили вдвое, объём уменьшился в 2³ = 8 раз, а не в 2.
- Не переводят единицы. Размеры в сантиметрах, а ответ нужен в литрах: считай в см³ и дели на 1000.
- Берут не ту высоту. Высота пирамиды — перпендикуляр к плоскости основания, а не боковое ребро и не высота боковой грани. Для её нахождения часто нужна теорема Пифагора.
Какие задания присылают и как пользоваться страницей
Ученики 11 класса чаще всего присылают задачи на объём пирамиды и её частей, на многогранники, составленные из параллелепипедов, и на воду в призматическом сосуде. Решения с полным ходом собраны в списке выше.
Найди там задание со схожим условием и сверь свои шаги с ходом решения. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с пояснениями.