Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁… (геометрия)

№ Сечения параллелепипеда плоскостью

Постройте сечение параллелепипеда $A B C D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ плоскостью, проходящей через следующие точки:
а) середины рёбер $A B$ , $A D$ и $A A_{1}$ ;
б) $B$ , $C$ и середину ребра $A_{1} B_{1}$ ;
в) $A$ , $C$ и середину ребра $A_{1} B_{1}$ ;
г) середины рёбер $A A_{1}$ , $A D$ и центр грани $B B_{1} C_{1} C$ ;
д) центры граней $A B C D$ , $A A_{1} B_{1} B$ , $B B_{1} C_{1} C$ ;
е) середины рёбер $A B$ , $A D$ и $C C_{1}$ ;
ж) середины рёбер $A_{1} B_{1}$ , $C C_{1}$ и вершину $A$ ;
з) середину ребра $C C_{1}$ и точки $K$ , $L$ , лежащие на рёбрах $A_{1} B_{1}$ и $A B$ , если $B K : K A = A_{1} L : L B_{1} = 1 : 2$ ;
и) середину ребра $A_{1} B_{1}$ , вершину $A$ и точку $M$ на ребре $B_{1} C_{1}$ , если $B_{1} M : M C_{1} = 1 : 3$ ;
к) середины рёбер $A D$ , $C D$ и $A_{1} B_{1}$ ;
л) середины рёбер $A B$ , $B C$ и $C C_{1}$ ;
м) вершину $B_{1}$ , центр грани $A B C D$ и середину ребра $A A_{1}$ ;
н) середины рёбер $C D$ , $B C$ , и точку $M$ , лежащую на продолжении ребра $A A_{1}$ за точку $A_{1}$ , если $M A_{1} = \frac{1}{2} A A_{1}$ ;
о) середины рёбер $A D$ , $C C_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ ;

Решение

Чертёж параллелепипеда один и тот же. Невидимые рёбра , , пунктиром. Для сложных случаев вводим координаты: , , , (рёбра приняты за единицы). Уравнение плоскости сечения находим по трём точкам, затем смотрим, какие рёбра она пересекает.

а) Точки , , — середины , , . Они лежат на трёх рёбрах, выходящих из . Соединяем их попарно, каждая пара точек лежит в одной грани.

Сечение — треугольник .

б) — середина . Так как , плоскость пересекает верхнюю грань по прямой, параллельной . Через проводим , — середина . Сечение — параллелограмм .

в) — середина . Так как , через проводим , — середина . Сечение — трапеция .

г) — середина , — середина , — центр (середина ). , а лежит на . Значит, плоскость содержит прямую . Сечение — трапеция , .

д) Центры граней: , , . Плоскость проходит через , , . Ей же принадлежат , , : — центр лежит на , на , на . Сечение — треугольник .

е) , — середины , , — середина . Плоскость: . Прямая пересекает в точке и в точке . Прямая пересекает в точке , прямая пересекает в точке , причём ребра. Сечение — пятиугольник .

ж) — середина , — середина . Плоскость: . Она пересекает ещё в точке () и в точке (). Сечение — пятиугольник .

з) на , ; на , ; — середина . Плоскость: . Она пересекает ещё в точке () и в точке (). Сечение — пятиугольник .

и) — середина , на , . Плоскость: . Она пересекает ещё в его середине . Сечение — четырёхугольник .

к) Плоскость: . Она проходит через середины шести рёбер: , , , , , . Сечение — шестиугольник ( — середина , — , — , — , — , — ).

л) Плоскость: . Она проходит через середины рёбер , , , , , . Сечение — шестиугольник .

м) — середина , — центр . Плоскость: . Она пересекает основание по прямой через : на в точке (), на в точке (), — середина . Сечение — четырёхугольник .

н) лежит на продолжении . Плоскость: . Она пересекает рёбра и в серединах , ; и в серединах , ; и в серединах , . Сечение — шестиугольник . Точка нужна для построения (прямые и пересекают в — для проверки).

о) Для точек (середина ), (середина ), (середина ) плоскость: . Это та же плоскость, что в пункте к) (она содержит и середину , и , ). Сечение то же — шестиугольник, чертёж как в к).

💡 Почему так

Сечение — многоугольник, стороны которого лежат в гранях параллелепипеда. Если две грани параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Это используется в пунктах б), в), г).

Ответ

а) треугольник с вершинами в серединах , , ;
б) параллелограмм , — середина ;
в) трапеция , — середина ;
г) трапеция ;
д) треугольник ;
е) пятиугольник , ребра;
ж) пятиугольник , , ;
з) пятиугольник , , ;
и) четырёхугольник , — середина ;
к) шестиугольник через середины , , , , , ;
л) шестиугольник через середины , , , , , ;
м) четырёхугольник , , ;
н) шестиугольник через середины , , , , , ;
о) тот же шестиугольник, что в пункте к).

Помогло?

Постройте сечение параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через…