Дано: BD ∥ CE, KM = 10. Доказать: точки D и E…

Геометрия10 классРешено по фото 6 октября 2026 в 22:36

№ Параллельные прямые в пространстве, средняя линия

Дано: $B D ∥ C E$ , $K M = 10$ . Доказать: точки $D$ и $E$ лежат в плоскости $A B C$ .
На рисунке: $B D = 7$ , $C E = 5$ , $A B = 8$ , $K$ — середина $D E$ (отрезки $D K$ и $K E$ равны), $M$ — середина $A C$ (отрезки $A M$ и $M C$ равны).

Решение

Параллельные прямые и задают плоскость . Точки лежат в , и — трапеция с основаниями и .
Пусть — середина . Тогда — средняя линия трапеции, так как — середина . Она лежит в , и
В треугольнике точки и — середины сторон и , поэтому — средняя линия:

Прямая лежит в плоскости .
Сравним длины:

Если бы точки не лежали на одной прямой, то по неравенству треугольника было бы . Равенство возможно только тогда, когда лежит на отрезке . Значит, лежит на прямой , а эта прямая лежит в плоскости . Итак, .
Плоскости и обе содержат прямую и точку , не лежащую на (ведь и ). Через прямую и точку вне её проходит единственная плоскость, поэтому .
Точки и лежат в , значит, они лежат и в плоскости .

💡 Почему так

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, а средняя линия треугольника — половине стороны. Равенство означает, что лежат на одной прямой, поэтому принадлежит плоскости .

Ответ

Доказано: , поэтому точки и лежат в плоскости .

Помогло?

Есть ещё задание?Сфоткай, и ДЗмэн решит за пару секунд.

Решить по фото

Решить своё по фото