Через вершину C прямоугольника ABCD проведена… (геометрия)

№ (вариант )Прямоугольник, периметр четырёхугольника

Через вершину $C$ прямоугольника $A B C D$ проведена прямая, параллельная диагонали $B D$ и пересекающая прямую $A B$ в точке $M$ . Через точку $M$ проведена прямая, параллельная диагонали $A C$ и пересекающая прямую $B C$ в точке $N$ . Найдите периметр четырёхугольника $A C M N$ , если диагональ $B D = 8$ см.

Решение

и , значит — параллелограмм, поэтому см и . Значит, — середина .
Диагонали прямоугольника равны: см.
и — середина , поэтому треугольники и равны: , см.
— середина , , значит — медиана и высота в треугольнике , поэтому см.
Все стороны равны см:

Ответ

см

№ (вариант )Диагонали прямоугольника

Диагональ прямоугольника с его сторонами образует углы, равные $5 5^{\circ}$ и $3 5^{\circ}$ . Найдите меньший угол между диагоналями данного прямоугольника.

Решение

Диагонали прямоугольника равны и делятся точкой пересечения пополам, поэтому и треугольник равнобедренный.

Пусть , тогда :

Смежный с ним угол:

Меньший угол между диагоналями —

Ответ

№ (вариант )Прямоугольник, диагонали

В прямоугольнике $M P K H$ $O$ — точка пересечения диагоналей, $P A$ и $H B$ — перпендикуляры, проведённые из вершин $P$ и $H$ к прямой $M K$ . Известно, что $M A = O B$ . Найдите величину угла $P O M$ .

Решение

и — диагонали, — их середина. Прямоугольники и симметричны относительно , поэтому .
Так как , точка — середина .
В треугольнике высота является медианой, значит .
Диагонали равны и делятся пополам: .
Следовательно, , треугольник равносторонний и .

Ответ

№ (вариант )Прямоугольник, диагональ

Через вершину $C$ прямоугольника $A B C D$ проведена прямая, параллельная диагонали $B D$ и пересекающая прямую $A D$ в точке $K$ . Через точку $K$ проведена прямая, параллельная диагонали $A C$ и пересекающая прямую $C D$ в точке $E$ . Найдите диагональ прямоугольника, если периметр четырёхугольника $A C K E$ равен 24 см.

Решение

— параллелограмм (, ), поэтому и , то есть — середина .
и — середина , поэтому — середина , а .
и — середина , поэтому .
Все стороны равны (ромб):

Ответ

см

№ (самостоятельная работа № , вариант )Ромб, углы треугольника

В ромбе $A B C D$ диагонали пересекаются в точке $O$ , $∠ B A C = 3 2^{\circ}$ . Найдите углы треугольника $B O C$ .

Решение

Диагонали ромба перпендикулярны: .
, поэтому треугольник равнобедренный и , то есть .
В прямоугольном треугольнике :

Ответ

, ,

№ (самостоятельная работа № , вариант )Квадрат, периметр

На сторонах $A B$ , $B C$ , $C D$ , $D A$ квадрата $A B C D$ отмечены точки $M$ , $K$ , $E$ и $P$ так, что $A M = B K = C E = D P$ . $∠ A P M$ равен $3 0^{\circ}$ , $A M = 4$ см. Найдите периметр четырёхугольника $M K E P$ .

Решение

Так как , то , и прямоугольные треугольники , , , равны по двум катетам. Значит, , а углы четырёхугольника прямые (острые углы треугольников в сумме дают ). Итак, — квадрат.
В треугольнике с катет см лежит против угла , поэтому гипотенуза
Периметр:

Ответ

см

Помогло?

Через вершину C прямоугольника ABCD проведена прямая, параллельная диагонали BD…