Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 1… (геометрия)

№ Признак параллелограмма: накрест лежащие углы

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 1: диагональ DB, углы 1 и 2 при вершине D, углы 3 и 4 при вершине B; по отметкам $∠1 = ∠4$ , $∠2 = ∠3$ .)

Решение

и — накрест лежащие при прямых , и секущей . Так как , то .
и — накрест лежащие при прямых , и секущей . Так как , то .
В четырёхугольнике противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

💡 Почему так

Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Четырёхугольник с двумя парами параллельных сторон — параллелограмм по определению.

Ответ

— параллелограмм, так как и .

№ Признак параллелограмма: равные противоположные стороны

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 2: $A B = D C$ , $A D = B C$ — отмечены одинаковыми черточками.)

Решение

Проведём диагональ . Треугольники и : , , — общая сторона. Значит, по трём сторонам.
Из равенства: , а это накрест лежащие углы при , и секущей . Поэтому .
Так как и , четырёхугольник — параллелограмм (по признаку: две стороны равны и параллельны).

💡 Почему так

Если у четырёхугольника противоположные стороны попарно равны, то он параллелограмм.

Ответ

— параллелограмм, так как и .

№ Признак параллелограмма: равные накрест лежащие углы

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 3: диагонали $A C$ и $B D$ ; равными отмечены $∠ A B D = ∠ C D B$ и $∠ A C B = ∠ C A D$ .)

Решение

— накрест лежащие при прямых , и секущей . Значит, .
— накрест лежащие при прямых , и секущей . Значит, .
Противоположные стороны попарно параллельны, значит, это параллелограмм.

💡 Почему так

Равные накрест лежащие углы дают параллельность прямых; две пары параллельных сторон — это определение параллелограмма.

Ответ

— параллелограмм, так как и .

№ Признак параллелограмма через равенство треугольников

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 4: диагональ $A C$ ; $A B = C D$ отмечены черточками, $∠ B A C = ∠ D C A$ отмечены дугами.)

Решение

Рассмотрим и : , , — общая сторона. Значит, по двум сторонам и углу между ними.
Из равенства: .
В четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны: , . Значит, — параллелограмм.

💡 Почему так

Четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом.

Ответ

— параллелограмм, так как и .

№ Признак параллелограмма: диагонали делятся пополам

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 5: диагонали $A C$ и $B D$ пересекаются в точке $O$ , $A O = O C$ и $B O = O D$ отмечены черточками.)

Решение

и : , , как вертикальные. Значит, по двум сторонам и углу между ними, откуда и .
— накрест лежащие при , и секущей , значит, .
Так как и , четырёхугольник — параллелограмм.

💡 Почему так

Если диагонали четырёхугольника точкой пересечения делятся пополам, он параллелограмм.

Ответ

— параллелограмм, так как диагонали и делятся точкой пополам.

№ Признак параллелограмма через равенство треугольников

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 6: дано $△ A B D = △ C D B$ , проведена диагональ $D B$ .)

Решение

Из равенства (вершины соответствуют по порядку: , , ) получаем и .
В четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, значит, — параллелограмм.

💡 Почему так

Равенство треугольников даёт равенство соответственных сторон; четырёхугольник с равными противоположными сторонами — параллелограмм.

Ответ

— параллелограмм, так как и .

Помогло?

Докажите, что ABCD — параллелограмм. (Рисунок 1: диагональ DB, углы 1 и…