№ Цилиндр в конусе: наибольший объём
Из всех цилиндров, вписанных в конус с радиусом основания R и высотой H, найти цилиндр наибольшего объёма.
Решение
Шаг . Осевое сечение. Конус — треугольник с основанием и высотой , цилиндр — вписанный прямоугольник с шириной и высотой . Верхние вершины прямоугольника лежат на боковых сторонах треугольника.
Шаг . Подобие. Треугольник, отсечённый сверху от конуса (высота , радиус ), подобен всему осевому сечению (высота , радиус ):
Шаг . Объём цилиндра:
Шаг . Производная.
при
. При меньших
имеем
, при больших
— максимум.
Шаг . Высота. .
