ГДЗ по алгебре 10-11 класс Алимов, номер 1519

№

Наибольшая площадь треугольника

На координатной плоскости дана точка $K(3; 6)$ . Рассматриваются треугольники, у которых две вершины симметричны относительно оси $Oy$ и лежат на дуге параболы $y = 4x^2$ , заданной на отрезке $[-1; 1]$ , а точка $K$ является серединой одной из сторон. Среди этих треугольников выбран тот, который имеет наибольшую площадь. Найти эту площадь.

Решение

Шаг . Две вершины. Пусть и , . Сторона горизонтальна, её длина , а середина лежит на оси , поэтому — не середина . Значит, — середина стороны или , где — третья вершина.

Шаг . Третья вершина. Если — середина , то :

(Если

— середина

, то

; ордината та же, а площадь зависит только от ординаты, поэтому результат будет таким же.)

Шаг . Высота. Основание лежит на прямой , высота — расстояние от до этой прямой:

При

имеем

, поэтому

Шаг . Площадь.

Шаг . Производная. . при , то есть . Слева от этой точки , справа — это точка максимума.

Шаг . Вычисляем при , , :

Сравним с краем:

💡 Почему так

Площадь треугольника — половина произведения основания на высоту. Основание горизонтально, поэтому высота — это разность ординат.

Ответ

Помогло?

Номер 1519