ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 264

№

Касательная к гиперболе y=k/x

Прямая касается гиперболы $y=\frac{k}{x}$ , где $k>0$ , в точке с абсциссой $x_0$ . Доказать, что: 1) площадь треугольника, ограниченного этой касательной и осями координат, не зависит от положения точки касания; найти эту площадь; 2) эта касательная проходит через точки $(x_0;\frac{k}{x_0})$ и $(2x_0;0)$ .

Решение

На чертеже показан пример расположения при ; при обе точки пересечения с осями лежат в противоположных полуплоскостях, но расчёт площади через модули остаётся тем же. Так как функция определена только при , обязательно . Производная гиперболы равна . Уравнение касательной в точке по формуле имеет вид .

На оси полагаем и получаем , значит, . На оси полагаем и получаем . Длины катетов треугольника равны и . По формуле площади прямоугольного треугольника , так как . Здесь сократилось, поэтому площадь не зависит от точки касания.
Подстановка в уравнение касательной даёт . Подстановка даёт . Следовательно, обе указанные точки лежат на касательной.

Ответ

кв. ед. при любом ;
касательная проходит через и .

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 264