Гл. ВП Свойства непрерывных на отрезке функций
Сформулировать свойства функций, непрерывных на отрезке.
Решение
Если функция непрерывна на замкнутом отрезке , то она ограничена на нём: найдётся число , для которого при каждом . Кроме того, она принимает на отрезке свои наибольшее и наименьшее значения: существуют точки с для всех отрезка. Здесь речь о свойстве непрерывности на отрезке, а не о способе искать эти значения.
Непрерывная функция принимает и каждое промежуточное значение между и . В частности, если и имеют разные знаки, найдётся , для которого . Замкнутость отрезка существенна: на открытом промежутке крайние значения могут не достигаться.
Ответ
На отрезке непрерывная функция ограничена, достигает наименьшего и наибольшего значений и принимает все промежуточные значения между значениями на концах.
