№ Доказательство: наименьшая диагональ у квадрата
Доказать, что из всех прямоугольников данного периметра наименьшую диагональ имеет квадрат.
Решение
Пусть периметр прямоугольника равен , тогда сумма двух соседних сторон равна . Пусть одна сторона равна , тогда другая равна , где .
Диагональ находим по теореме Пифагора: . Так как , диагональ принимает наименьшее значение при том же , что и . Рассмотрим функцию
Производная:
. Единственная стационарная точка
. При
имеем
, при
имеем
: знак меняется с «
» на «
», поэтому
— точка минимума, и в ней
(а значит, и диагональ) принимает наименьшее значение.
При другая сторона тоже равна . Прямоугольник с равными соседними сторонами — квадрат. Что и требовалось доказать.
Ответ
Доказано: наименьшую диагональ имеет прямоугольник со сторонами и — квадрат.
