№ Задача на наименьшее значение силы
Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 149). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором величина силы будет наименьшей, если коэффициент трения груза равен k.
Решение
Пусть вес груза , сила направлена под углом к горизонту (). Раскладываем силу на составляющие: горизонтальная тянет груз вперёд, вертикальная частично поднимает груз. Сила давления груза на плоскость равна , поэтому сила трения равна .
Груз сдвигается, когда горизонтальная составляющая уравновешивает силу трения:
Решаем относительно
:
, откуда
Числитель
постоянен и положителен, поэтому
принимает наименьшее значение, когда знаменатель
принимает наибольшее значение на
. Производная:
. Приравниваем к нулю:
, т. е.
(при
), откуда
— единственная стационарная точка на промежутке. При
имеем
, т. е.
и
; при
имеем
. Знак меняется с «
» на «
»:
— точка максимума
, значит, точка минимума
.
