ГДЗ Алгебра 10-11 класс Алимов, номер 983

№

Первообразная: проверка по определению

Показать, что функция $F(x)$ является первообразной функции $f(x)$ на всей числовой прямой:

$F(x) = \frac{x^6}{6}$ , $f(x) = x^5$ ;
$F(x) = \frac{x^5}{5} + 1$ , $f(x) = x^4$ .

Решение

По определению (§ ) функция — первообразная функции на промежутке, если для всех из этого промежутка . Значит, нужно найти производную и сравнить её с . Обе функции — многочлены, они определены и дифференцируемы при всех , то есть на всей числовой прямой.

Вынесем постоянный множитель за знак производной и применим формулу :

Получили при всех .
Производная суммы равна сумме производных, производная постоянной равна нулю:

Получили при всех .

💡 Почему так

Чтобы показать, что — первообразная , достаточно продифференцировать и получить . Постоянное слагаемое (здесь ) на производную не влияет.

Ответ

;
— в обоих случаях является первообразной на всей числовой прямой.

Помогло?

Номер 983 ГДЗ Алгебра 10–11 класс, Алимов 2023, страница 293