ГДЗ по алгебре 11 класс Колягин, номер 894

№

Неравенства с модулем квадратного трёхчлена

Решить неравенство: 1) $|2x-3|<x$ ; 2) $|4-x|>x$ ; 3) $|x^2-7x+12|\le6$ ; 4) $|x^2-3x-4|>6$ ; 5) $|2x^2-x-1|\ge5$ ; 6) $|3x^2-x-4|<2$ .

Решение

Модуль неотрицателен, поэтому нужно . Применяем правило : . Из левой части , то есть ; из правой . Пересечение: .

Если , то , все такие значения подходят. Если , обе части неотрицательны, и можно возвести в квадрат: . Раскрываем скобки: , , . Объединение с отрицательными даёт .

Пусть . По выделению квадрата . Поэтому нижняя часть условия верна всегда. Осталось , то есть . Разложение даёт промежуток между корнями с концами.

Для условие означает или . Первая ветвь: , значит или . Вторая ветвь: , значит . Объединяем три промежутка; граничные точки исключаем из-за строгого знака.

При правило даёт или . Первая ветвь: , откуда или . Вторая ветвь требует , но дискриминант при положительном старшем коэффициенте: левая часть всегда положительна. Значит, новых корней нет.

Пусть . Условие означает одновременно и . Первое даёт . Его дискриминант , корни , а решение . Второе даёт , то есть или . Пересекая с первым интервалом, получаем либо .

💡 Почему так

В ответах книги к пункту указано , хотя удовлетворяет напечатанному неравенству. В пункте напечатанное требует , а не : при оно ложно. В пункте промежуток не подходит, поскольку при получаем .

Ответ

;
;
;
, или ;
или ;
или (в книге для пунктов , , дополнительно указаны соответственно , , ).

Помогло?ответ совпал с учебником

Номер 894