Что такое степень и какие у неё есть свойства
Степень a^n с натуральным показателем n показывает, сколько раз число a умножается само на себя: 2^4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16. Число a называют основанием, n — показателем. Свойства степеней нужны, чтобы не считать такие произведения напрямую, а упрощать выражение за один-два шага.
Свойства степеней в 7 классе изучают для натурального показателя. Потом к ним добавляются нулевой и целый отрицательный показатель, а в 8–9 классах ещё и дробный.
С темой сталкиваются при упрощении выражений, вычислениях без калькулятора и записи очень больших и очень малых чисел. Дальше она нужна в одночленах и многочленах и в алгебраических дробях.
Свойства степеней: формулы
Все формулы ниже верны для основания, не равного нулю, когда показатель отрицательный или нулевой.
- a^m × a^n = a^(m+n) — при умножении с одинаковым основанием показатели складываются.
- a^m : a^n = a^(m−n) — при делении показатели вычитаются.
- (a^m)^n = a^(m×n) — при возведении степени в степень показатели перемножаются.
- (ab)^n = a^n × b^n — степень произведения.
- (a/b)^n = a^n / b^n — степень дроби.
- a^0 = 1, если a ≠ 0.
- a^(−n) = 1 / a^n — отрицательный показатель переворачивает дробь: 2^(−3) = 1/8.
Первые три свойства работают только с одинаковым основанием. Выражение 2^3 × 3^4 по ним не упростить.
Свойства рациональных степеней продолжают те же правила. Степень с рациональным показателем определяют через корень: a^(m/n) — это корень n-й степени из a^m, где a > 0. Например, 9^(3/2) = (√9)^3 = 27, а 9^(−3/2) = 1/27. Подробнее про корни — в темах квадратные корни и корень n-й степени.
Как использовать свойства степеней: разбор задания
Типичное задание: представить выражение 4 × 8^8 × 4^(−5) в виде степени с основанием 2.
Шаг 1. Приводим все основания к двойке: 4 = 2^2, 8 = 2^3.
Шаг 2. Подставляем: 2^2 × (2^3)^8 × (2^2)^(−5).
Шаг 3. Возводим степени в степень, перемножая показатели: (2^3)^8 = 2^24, (2^2)^(−5) = 2^(−10). Получаем 2^2 × 2^24 × 2^(−10).
Шаг 4. Складываем показатели: 2 + 24 − 10 = 16.
Ответ: 2^16.
Ещё один приём — собрать степени с одинаковым показателем. В выражении 2^12 × 0,2^12 × 2,5^12 основания разные, зато показатели равны. По свойству степени произведения это (2 × 0,2 × 2,5)^12 = 1^12 = 1.
Стандартный вид числа
Число в стандартном виде записывают как a × 10^n, где 1 ≤ a < 10, а n — целое. Поэтому 5,3 × 10^(−4) записано в стандартном виде, а 0,26 × 10^(−7) и 28 × 10^(−9) нет: первый множитель у них меньше 1 и больше 10.
Такая запись удобна для перевода единиц. В одной тонне 10^6 граммов, значит, 6,75 × 10^15 г = 6,75 × 10^15 : 10^6 т = 6,75 × 10^9 т.
Где ошибаются чаще всего
- Показатели перемножают там, где их надо складывать, и наоборот. (x^2)^3 = x^6, а x^2 × x^3 = x^5. Смотри, что стоит: скобка со степенью внутри или произведение степеней.
- Складывают основания. 2^3 × 2^4 = 2^7, а не 4^7. Основание при умножении не меняется.
- Путают (−2)^4 и −2^4. В первом случае в степень возводится всё число с минусом: (−2)^4 = 16. Во втором минус остаётся снаружи: −2^4 = −16. Нечётная степень отрицательного числа даёт минус, чётная — плюс.
- Думают, что отрицательный показатель даёт отрицательное число. 2^(−3) = 1/8, это положительное число. Минус в показателе означает «перевернуть дробь».
- Раскрывают (a + b)^n как a^n + b^n. Так нельзя, например (1 + 2)^2 = 9, а 1^2 + 2^2 = 5. Для суммы нужны формулы сокращённого умножения.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего присылают упрощение выражений с буквами, например (w^3)^4 × (w^9)^6, и вычисление значения при заданном a или b. Много заданий на отрицательные показатели, на представление числа в виде степени с данным основанием, на стандартный вид и перевод единиц. Встречаются и дробные показатели, в том числе с корнями.
На странице выше найди похожее задание по записи условия и сверь ход решения со своим. Если такого нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробным ходом.