Что такое линейное уравнение
Линейное уравнение с одной переменной — это уравнение, которое после раскрытия скобок и переноса слагаемых приводится к виду ax = b, где a и b — числа, а x — неизвестное. Примеры: 4x + 7 = 11, 3x − 8 = x + 6, z − ½z = 0.
Корень уравнения — число, при подстановке которого получается верное равенство. Для 4x + 7 = 11 корень равен 1: 4 × 1 + 7 = 11. Решить уравнение значит найти все его корни или доказать, что их нет.
Линейные уравнения изучают в 7 классе, а потом они встречаются везде: в текстовых задачах, при поиске точек пересечения графиков, в системах уравнений.
Как решать линейные уравнения: порядок действий
Метод решения линейных уравнений один, он опирается на два свойства:
- слагаемое можно перенести в другую часть уравнения, поменяв знак;
- обе части можно умножить или разделить на число, не равное нулю.
Порядок действий:
- Раскрой скобки. Если перед скобкой стоит минус, все знаки внутри меняются.
- Если есть дроби, умножь обе части на общий знаменатель.
- Перенеси слагаемые с x влево, числа вправо, не забыв сменить знаки.
- Приведи подобные слагаемые, получится ax = b.
- Раздели обе части на a.
- Подставь найденное число в исходное уравнение и проверь.
Разбор задания шаг за шагом
Решим уравнение 3(x − 4) − 2x = 5x + 8.
- Раскрываем скобки: 3x − 12 − 2x = 5x + 8.
- Приводим подобные слева: x − 12 = 5x + 8.
- Переносим: x − 5x = 8 + 12.
- Считаем: −4x = 20.
- Делим на −4: x = −5.
Проверка: слева 3 × (−9) − 2 × (−5) = −27 + 10 = −17, справа 5 × (−5) + 8 = −17. Числа равны, значит корень найден верно.
Теперь уравнение с дробями: (x + 2)/3 − (x − 1)/4 = 2. Общий знаменатель 12. Умножаем обе части на 12: 4(x + 2) − 3(x − 1) = 24. Раскрываем скобки: 4x + 8 − 3x + 3 = 24. Получаем x + 11 = 24, откуда x = 13. Обрати внимание: скобка (x − 1) стоит после минуса, поэтому +3 получилось из −3 × (−1).
Уравнения, сводящиеся к линейным, и число корней
Иногда уравнение выглядит сложнее, чем есть. В уравнении x² − 9 = (x + 3)² есть квадраты, но после раскрытия правой части по формуле квадрата суммы x² сокращается: x² − 9 = x² + 6x + 9, то есть 6x = −18 и x = −3. Это и есть уравнения, сводящиеся к линейным: если x² с обеих сторон исчезает, остаётся обычное линейное.
Если в итоге получилось ax = b, возможны три случая:
- a ≠ 0: один корень x = b/a;
- a = 0 и b = 0: корень — любое число. Например, 1,4(y + 5) = 7 + 1,4y превращается в 7 + 1,4y = 7 + 1,4y;
- a = 0 и b ≠ 0: корней нет. Например, y − 3 = y даёт −3 = 0, а это неверно.
Если слева произведение, а справа ноль, как в (−x − 5)(2x + 4) = 0, приравняй к нулю каждый множитель: x = −5 и x = −2. Если просят больший корень, ответ −2. Уравнения, где неизвестное стоит в квадрате и не сокращается, решают по другим правилам, см. квадратные уравнения.
Где ошибаются чаще всего
- Знак при переносе. Перенесли слагаемое и оставили прежний знак. Правильно: 5x = 2x + 9 даёт 5x − 2x = 9, а не 5x + 2x = 9.
- Минус перед скобкой. В выражении 6y − (y − 1) получается 6y − y + 1, а не 6y − y − 1.
- Дробь без умножения на всё. Умножая на общий знаменатель, умножай каждое слагаемое, в том числе целые числа и правую часть.
- Деление не на тот коэффициент. Из −4x = 20 получается x = −5, а не 5. Знак минус тоже входит в коэффициент.
- Ответ «корней нет» вместо «любое число». Если в конце получилось верное равенство вроде 0 = 0, корнем будет любое число, а не отсутствие корней.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это уравнения со скобками и десятичными дробями, уравнения с дробями в виде (2x − 1)/5 − (x − 3)/4 = −2, задания на число корней и доказательство, что корень есть или его нет. Встречаются также составление уравнения с заданным корнем, равносильные уравнения и задачи про последовательные натуральные числа.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сравни ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и получи решение с пояснением каждого шага.