Что такое линейная функция
Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где k и b — обычные числа, а x — переменная. Число k называют угловым коэффициентом, он показывает, насколько круто идёт прямая. Число b — это значение y при x = 0, то есть точка, где прямая пересекает ось Oy.
Примеры: y = 2x − 3 (k = 2, b = −3), y = 7 − 6x (k = −6, b = 7), y = −x (k = −1, b = 0).
Есть три частных случая:
- b = 0, например y = −2x. Прямая проходит через начало координат (0; 0).
- k = 0, например y = 1,5. Прямая горизонтальная, параллельная оси Ox.
- Уравнение x = 5 задаёт вертикальную прямую. Функцией оно не является: одному x соответствует много значений y.
Если k > 0, функция возрастает: чем больше x, тем больше y. Если k < 0, она убывает. Если две прямые имеют одинаковые k, они параллельны.
Как построить график линейной функции
График линейной функции — прямая, а прямую однозначно задают две точки. Поэтому достаточно найти две точки, отметить их и провести через них линию. Третью точку берут для проверки.
Пример. Построим график y = −4x + 7 и опишем свойства.
- Составляем таблицу. При x = 0 получаем y = 7. При x = 2 получаем y = −4 × 2 + 7 = −1.
- Отмечаем точки (0; 7) и (2; −1), проводим через них прямую.
- Проверяем третьей точкой: при x = 1 получаем y = 3. Точка (1; 3) лежит на прямой, значит, ошибки нет.
Свойства: k = −4 < 0, поэтому функция убывает. С осью Oy прямая пересекается в точке (0; 7). С осью Ox: решаем −4x + 7 = 0, получаем x = 7/4 = 1,75, то есть точка (1,75; 0). Это уравнение решается как обычное линейное уравнение.
Если уравнение дано в другом виде, например y − x = 3, сначала выразите y: y = x + 3. Дальше всё так же. Общие понятия (область определения, нули, возрастание) разобраны в теме функции и их свойства.
Принадлежит ли точка графику и как найти точку пересечения
Чтобы проверить, лежит ли точка на графике, подставь её координаты в формулу. Если равенство верное, точка принадлежит графику.
Для y = 1 − x проверим точки:
- A(1; 0): 1 − 1 = 0, верно, принадлежит.
- B(−2; 3): 1 − (−2) = 3, верно, принадлежит.
- C(3; 2): 1 − 3 = −2, а нужно 2, не принадлежит.
- D(−4; −3): 1 − (−4) = 5, а нужно −3, не принадлежит.
Чтобы найти точку графика самому, выбери любое x и вычисли y. Например, при x = 5 получим y = −4, значит, (5; −4) лежит на графике.
Пересечение графиков двух линейных функций. В точке пересечения у обеих функций одинаковые x и y, поэтому правые части формул приравнивают.
Найдём точку пересечения прямых y = 2x − 17 и y = 13 − 8x:
- Приравниваем: 2x − 17 = 13 − 8x.
- Переносим: 2x + 8x = 13 + 17, то есть 10x = 30, x = 3.
- Подставляем в любую формулу: y = 2 × 3 − 17 = −11.
- Проверяем по второй: 13 − 8 × 3 = −11. Совпало.
Ответ: (3; −11). Абсцисса — это x, ордината — это y. Тот же результат даёт система уравнений из двух формул. Если прямые даны на рисунке, найди точку пересечения глазами и прочитай её координаты по клеткам. Если точка не попадает в узел сетки, найди формулы по двум точкам каждой прямой и реши, как выше.
Как определить знаки k и b по рисунку
В заданиях «на рисунке изображён график линейной функции» часто нужно назвать знаки k и b. Смотри на две вещи.
- Наклон даёт знак k. Прямая идёт вверх слева направо, значит k > 0. Идёт вниз — k < 0. Горизонтальная прямая — k = 0.
- Пересечение с осью Oy даёт знак b. Выше начала координат — b > 0, ниже — b < 0, ровно в начале координат — b = 0.
Например, прямая идёт вниз и пересекает ось Oy выше нуля: k < 0, b > 0. Для такой прямой подойдёт, скажем, y = −2x + 4.
Так же различают графики y = 2x + 4 и y = 2x − 4. Наклон у них одинаковый, а вот ось Oy они пересекают в разных точках: (0; 4) и (0; −4).
Где ошибаются чаще всего
- Путают абсциссу и ординату. Абсцисса — первое число в паре и координата по оси Ox, ордината — второе. Если спрашивают абсциссу точки пересечения, ответ — это x.
- Теряют знак при подстановке. В y = 1 − x при x = −2 получается 1 − (−2) = 3, а не −1. Отрицательные числа подставляй в скобках.
- Строят график по одной точке. Одна точка не определяет прямую. Нужны минимум две, лучше три для проверки.
- Считают, что b — это наклон. Наклон задаёт k, а b только сдвигает прямую вверх или вниз. Прямые y = 3x + 1 и y = 3x − 5 параллельны.
- Не приводят уравнение к виду y = kx + b. В уравнении 2x + y = 6 нужно сначала записать y = 6 − 2x, и только потом искать k и b.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят пять типов: построить график по формуле (например, y = 5x + 1 или y = 7 − 6x), найти абсциссу или ординату точки пересечения по рисунку, подобрать формулу или знаки k и b к графику, проверить, принадлежит ли точка графику, и построить графики уравнений вроде x = 5 или |y| = 3. Встречаются и задачи посложнее: найти уравнение прямой, параллельной данной и проходящей через точку пересечения двух других.
Найди в списке выше задание, похожее на своё, и посмотри ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробными шагами. С неравенствами вида y > kx + b поможет тема линейные неравенства.