Что такое текстовая задача и какие они бывают
Текстовая задача описывает ситуацию словами, а ответ нужно получить числом. В 9 классе почти все такие задачи сводятся к уравнению, системе уравнений или квадратному уравнению. Решение текстовых задач по математике состоит из трёх частей: составить модель, решить её, вернуться к условию и проверить ответ.
На экзамене и в контрольных чаще всего встречаются такие типы:
- движение: навстречу друг другу, вдогонку, по реке;
- работа и производительность;
- проценты, смеси и сплавы;
- числа: последовательные, цифры числа;
- геометрия: стороны и площадь прямоугольника;
- практические задачи по таблице, плану местности или формуле.
Анализ текстовой задачи: с чего начать
Не бросайся сразу писать уравнение. Сначала проведи анализ текстовой задачи: прочитай условие и ответь себе на три вещи.
- Что нужно найти. Это и будет неизвестное, его обозначают x.
- Какие данные даны и в каких единицах: км и часы, метры, граммы, проценты.
- Какая связь между величинами: «на 3 часа меньше», «в 5 раз больше», «вдвое длиннее».
Модель текстовой задачи — это её запись в виде схемы, таблицы или уравнения. Для задач на движение удобна таблица со столбцами «скорость», «время», «путь». Для задач на работу подойдёт такая же таблица: производительность, время, объём работы. Когда таблица заполнена, уравнение берётся из условия: два выражения приравниваются, потому что в задаче сказано, что они равны или отличаются на известное число.
Разбор: задача на движение по реке
Условие. Лодка прошла против течения реки 120 км и вернулась обратно, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Скорость течения 2 км/ч. Найди скорость лодки в неподвижной воде.
Шаг 1. Пусть x км/ч — скорость лодки в неподвижной воде. Против течения она идёт со скоростью x − 2, по течению со скоростью x + 2.
Шаг 2. Время равно пути, делённому на скорость. Против течения лодка шла 120 ÷ (x − 2) часов, по течению 120 ÷ (x + 2) часов. Первое время больше второго на 5 часов:
120 / (x − 2) − 120 / (x + 2) = 5
Шаг 3. Приведи к общему знаменателю. Для этого полезно повторить алгебраические дроби. Числитель получается 120 × (x + 2) − 120 × (x − 2) = 480, значит 480 = 5 × (x² − 4). Разделим на 5: 96 = x² − 4, откуда x² = 100.
Шаг 4. Получилось, что x = 10 или x = −10. Скорость не может быть отрицательной, поэтому подходит только 10.
Шаг 5. Проверка: против течения 120 ÷ 8 = 15 часов, по течению 120 ÷ 12 = 10 часов, разница 5 часов. Ответ: 10 км/ч.
Как составлять уравнение в других типах задач
Движение: путь = скорость × время. При движении вдогонку сравнивай пройденные пути к моменту встречи, а время второго участника уменьшай на задержку выезда.
Работа: объём = производительность × время. Если в задаче сказано «Вика отвечает на 12 вопросов в час», то 12 — это производительность, а время каждой девочки выражается как число вопросов, делённое на 12 или на 15.
Числа: три последовательных натуральных числа записывают как n, n + 1, n + 2. Например, «квадрат большего на 10 больше произведения двух других» даёт (n + 2)² − n(n + 1) = 10. После раскрытия скобок по формулам сокращённого умножения остаётся 3n + 4 = 10, то есть n = 2, и числа 2, 3, 4.
Проценты: найти p% от числа — значит умножить число на p / 100. Например, 75% от 1400 рублей: 1400 × 0,75 = 1050 рублей. В задачах на сплавы и смеси отдельно считай массу всей смеси и массу чистого вещества в ней.
Геометрия: если стороны прямоугольника x и x − 4, а площадь известна, получается квадратное уравнение x(x − 4) = S.
Где ошибаются чаще всего
Не отбрасывают лишний корень. Квадратное уравнение даёт два ответа, но длина, скорость и количество предметов положительны. Если корень не подходит по смыслу, его нужно вычеркнуть и сказать об этом в решении.
Смешивают единицы. Скорость в км/ч, а время дано в минутах: 40 минут нужно записать как ⅔ часа, а не как 40. Если в условии часы, а в вопросе минуты, переводи только в самом конце.
Отвечают не на тот вопрос. В задаче про шапку, свитер и шарф недостаточно найти x для свитера: спрашивают про каждое изделие. Перед ответом перечитай последнюю фразу условия.
Забывают про стоянку и задержку. Если теплоход стоял 10 часов, а всего был в пути 70, то на движение ушло 60 часов. Эти 10 часов нужно вычесть до составления уравнения.
Считают проценты не от того числа. В вопросе «на сколько процентов одна площадь меньше другой» за 100% берётся та, с которой сравнивают, то есть вторая.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят задачи на движение по реке и вдогонку, на работу, на проценты и сплавы, на последовательные числа и площадь участка. Много практических заданий: расход бензина по плану местности, сравнение стоимости набора продуктов по таблице, расчёт отопления, размеры колёс.
Найди похожее задание в списке выше: у каждого есть полный ход решения, и можно сверить свои шаги с чужими. Если подходящей задачи нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснениями. Для задач, где в итоге получается линейное уравнение, пригодится тема линейные уравнения.