Что такое квадратное уравнение и как найти его корни
Квадратное уравнение записывается в виде ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0. Числа a, b, c называют коэффициентами. Если a = 0, члена с x² нет, и получается линейное уравнение.
Корни квадратного уравнения — это значения x, при которых левая часть равна 0. Их может быть два, один или ни одного. Это показывает дискриминант:
D = b² − 4ac
- D > 0: два корня, x = (−b ± √D) ÷ (2a);
- D = 0: один корень, x = −b ÷ (2a);
- D < 0: корней нет.
Например, в уравнении x² + 3x + 4 = 0 дискриминант D = 9 − 16 = −7. Он отрицательный, значит, действительных корней нет. Для вычислений понадобятся квадратные корни.
Неполные квадратные уравнения
Если b = 0 или c = 0, уравнение называют неполным. Дискриминант здесь не нужен, решается проще.
Случай c = 0. Выносим x за скобки. Для 4x² = 20x переносим всё влево: 4x² − 20x = 0, затем 4x(x − 5) = 0. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю: x = 0 или x = 5. Подробнее о таком приёме в теме разложение на множители.
Случай b = 0. Выражаем x². Для 25x² = 9 получаем x² = 9/25, откуда x = 3/5 или x = −3/5. Если справа получается отрицательное число, например −6x² = 18, то x² = −3 и корней нет: квадрат не бывает отрицательным.
В уравнении 9x² − 2 = 0 корни такие: x² = 2/9, x = ±√2/3. Если число не извлекается нацело, корень оставляют в ответе.
Разбор задания: решить квадратное уравнение по шагам
Возьмём уравнение из типичного задания: x² − 7x = 8. В ответ нужно записать больший корень.
- Переносим всё в левую часть, чтобы справа остался 0: x² − 7x − 8 = 0.
- Выписываем коэффициенты: a = 1, b = −7, c = −8.
- Считаем дискриминант: D = (−7)² − 4 × 1 × (−8) = 49 + 32 = 81. Он положительный, корней два.
- √D = 9. Находим корни: x = (7 + 9) ÷ 2 = 8 и x = (7 − 9) ÷ 2 = −1.
- Выбираем больший: 8.
- Проверяем: 8² − 7 × 8 = 64 − 56 = 8. Подходит.
Если в условии дроби, как в уравнении (x² − 1)/2 − 11x = 11, сначала умножь обе части на общий знаменатель, потом приводи к виду ax² + bx + c = 0.
Теорема Виета, биквадратные уравнения и замена переменной
Для приведённого уравнения x² + px + q = 0 (когда a = 1) сумма корней равна −p, а произведение равно q. Это помогает составлять уравнение по корням. Для корней 5 и 8 сумма 13, произведение 40, поэтому уравнение x² − 13x + 40 = 0.
Биквадратное уравнение имеет вид ax⁴ + bx² + c = 0. Вводим замену t = x², причём t ≥ 0, и решаем обычное квадратное уравнение.
Пример: x⁴ − 5x² + 4 = 0.
- Пусть t = x². Тогда t² − 5t + 4 = 0.
- D = 25 − 16 = 9, t = (5 ± 3) ÷ 2, то есть t = 4 или t = 1.
- Возвращаемся к x: x² = 4 даёт x = ±2, x² = 1 даёт x = ±1.
Ответ: −2, −1, 1, 2. Замену делают и в более сложных случаях, например для (x² + x)² − 5(x² + x) + 6 = 0 подходит t = x² + x. Некоторые уравнения удобно сворачивать по формулам сокращённого умножения: x⁴ − 4x² + 4 = (x² − 2)².
Где ошибаются чаще всего
- Не приводят уравнение к виду «= 0». В x² − 7x = 8 нельзя брать b = −7 и c = 8, пока 8 не перенесено влево. Тогда c = −8.
- Ошибаются в знаках в дискриминанте. Если c отрицательное, то −4ac даёт плюс, и D только растёт. Если b отрицательное, то в формуле −b становится положительным числом.
- Сокращают на x. В 4x² = 20x нельзя делить обе части на x, иначе пропадёт корень 0. Правильно выносить x за скобки.
- Забывают вернуться к x в биквадратных уравнениях. Найти t недостаточно: нужно решить x² = t. Отрицательное t корней не даёт.
Перед ответом читай условие ещё раз: часто просят записать только меньший или больший корень.
Какие задания по теме присылают ученики
В списке выше в основном 8 класс: неполные квадратные уравнения, уравнения с дробями, составление уравнения по корням, биквадратные уравнения и уравнения с заменой переменной. Встречаются и задания с параметром, их обычно решают в 9 классе вместе с квадратичной функцией.
Найди в списке задание, похожее на твоё, и сравни ход решения со своим. Если подходящего нет, сфотографируй условие и получи решение по шагам.