Что такое множество и как его записать
Множество — набор объектов, которые считают одним целым. Объекты называют элементами множества. Это могут быть числа, буквы, ученики класса, спектакли.
Множества обозначают заглавными буквами, а элементы записывают в фигурных скобках: A = {1; 3; 5}. Принадлежность элемента записывают значком ∈: 3 ∈ A, а 4 ∉ A. Множество без элементов называют пустым и пишут ∅.
У множества два важных свойства. Элементы не повторяются: в записи множества букв слова «клей» каждая буква стоит один раз. Порядок элементов не важен: {1; 2; 3} и {3; 1; 2} — одно и то же множество.
Если в задании сказано «запишите множество» или «перечислите элементы», нужно выписать все элементы в скобках через точку с запятой. Множество может быть конечным (например, делители числа 42) или бесконечным (все натуральные числа).
Числовые множества N, Z, Q, R
Для чисел есть четыре стандартных обозначения:
- N — натуральные числа: 1, 2, 3, 4 и так далее. Ноль в школьной алгебре к ним не относят.
- Z — целые числа: натуральные, противоположные им и ноль: …, -2, -1, 0, 1, 2, …
- Q — рациональные числа: те, которые можно записать дробью m/n, где m целое, а n натуральное. Сюда входят целые числа, конечные десятичные дроби и периодические дроби вроде 0,2424…
- R — действительные числа: все рациональные и иррациональные, например √5 и π.
Каждое следующее множество содержит предыдущее: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Поэтому число -8 принадлежит Z, Q и R, но не принадлежит N. А √9 = 3 — натуральное число, хотя записано с корнем. Число √5 иррациональное: оно входит только в R.
Чтобы определить тип числа, сначала упрости запись (вычисли корень, переведи дробь), а потом смотри, в какое самое маленькое из множеств оно попадает.
Пересечение множеств, объединение и дополнение
Над двумя множествами A и B можно выполнять действия:
- Пересечение A ∩ B — элементы, которые есть и в A, и в B одновременно.
- Объединение A ∪ B — элементы, которые есть хотя бы в одном из множеств. Общие элементы записывают один раз.
- Дополнение множества A (на письме — черта над буквой) — всё, что не входит в A, но входит в рассматриваемое «большое» множество.
Пример: A = {1; 2; 3; 4}, B = {3; 4; 5}. Тогда A ∩ B = {3; 4}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5}.
Для числовых промежутков те же действия делают на оси. Пусть A = [-5; 2) и B = (-3; 9]. Общая часть — числа от -3 до 2, причём ни -3, ни 2 не входят: A ∩ B = (-3; 2). Вместе промежутки покрывают всё от -5 до 9: A ∪ B = [-5; 9]. Скобки определяют, входит ли конец промежутка, поэтому на рисунке точка закрашена для квадратной скобки и пустая для круглой.
Множества решений неравенств строят так же: сначала решают каждое неравенство (см. линейные неравенства), потом ищут общую часть или объединение. Если нужно изобразить три множества, рисуют диаграмму Эйлера: три пересекающихся круга внутри прямоугольника. Выражение разбивают на действия и закрашивают область по шагам, начиная со скобок.
Разбор задачи на подсчёт элементов
Задача. Из 52 школьников 23 собирают значки, 35 собирают марки, а 16 — и значки, и марки. Остальные не увлекаются коллекционированием. Сколько школьников не увлекаются коллекционированием?
Шаг 1. Обозначим: A — собирающие значки, B — собирающие марки. В A 23 человека, в B 35 человек, в A ∩ B 16 человек.
Шаг 2. Если сложить 23 + 35, школьники, которые собирают и значки, и марки, посчитаются дважды. Их 16, поэтому один раз вычитаем: число школьников в A ∪ B равно 23 + 35 − 16 = 42.
Шаг 3. Всего школьников 52, из них 42 коллекционируют. Остальные: 52 − 42 = 10.
Проверка по кругам Эйлера. Только значки собирают 23 − 16 = 7 человек, только марки — 35 − 16 = 19. Вместе с теми, кто собирает и то и другое: 7 + 19 + 16 = 42. Совпало.
Ответ: 10 школьников.
Формула для двух множеств: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B), где n обозначает число элементов. Для трёх множеств в задачах про посещённые места удобнее сразу рисовать три круга и заполнять их от центра, то есть от общей части, к краям.
Где ошибаются чаще всего
- Путают ∩ и ∪. Пересечение — «и то, и другое», объединение — «хотя бы одно». У пересечения элементов не больше, чем в каждом из множеств, у объединения не меньше.
- Считают ноль натуральным числом. В школьной алгебре N начинается с 1. Ноль входит в Z, Q и R.
- Повторяют элементы. Множество букв слова «речка» — {р; е; ч; к; а}, а не перечень по порядку с повторами. Если в слове буква встречается дважды, в множество она попадает один раз.
- Складывают числа без вычитания общей части. В задаче про значки и марки 23 + 35 = 58 больше, чем всех школьников, и это сразу сигнал, что общие 16 посчитаны дважды.
- Путают скобки у промежутков. Квадратная скобка включает конец промежутка, круглая нет. Из-за этого A ∩ B = (-3; 2), а не [-3; 2].
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего приходят задания на круги Эйлера и подсчёт числа школьников, на диаграммы для трёх множеств, на определение, к какому числовому множеству относится число, и на перечисление элементов множеств делителей, простых чисел и букв слов. Встречаются также числовые промежутки и множества решений неравенств, которые изображают на прямой.
Найди в списке заданий выше похожее на своё и посмотри ход решения. Если точного совпадения нет, сфотографируй своё задание и получи решение с пошаговым ходом. Для задач, где множества записаны через неравенства, пригодятся также квадратные неравенства, а для текстовых условий с подсчётом людей — текстовые задачи.