Что такое квадратичная функция и как выглядит её график
Квадратичная функция — это функция вида y = ax² + bx + c, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Если a = 0, степень пропадает и остаётся линейная функция. Частные случаи тоже считаются квадратичными: y = 2x², y = x² − 9, y = −x² + 4x.
График квадратичной функции — парабола. Она симметрична относительно вертикальной прямой, которая проходит через вершину. Самая низкая или самая высокая точка параболы и есть вершина.
Коэффициенты видны прямо на графике:
- a > 0 — ветви вверх, a < 0 — ветви вниз. Чем больше |a|, тем уже парабола.
- c — ордината точки пересечения с осью Oy, то есть парабола проходит через (0; c).
- b вместе с a определяет положение вершины: x₀ = −b / (2a).
Как построить график квадратичной функции по шагам
Построение квадратичной функции сводится к одному алгоритму. Разберём его на функции y = x² − 6x + 5.
- Ветви: a = 1 > 0, значит, вверх.
- Абсцисса вершины: x₀ = −b / (2a) = 6 / 2 = 3. Ордината: y₀ = 3² − 6×3 + 5 = 9 − 18 + 5 = −4. Вершина (3; −4).
- Пересечение с Oy: x = 0, y = 5, точка (0; 5).
- Нули функции: x² − 6x + 5 = 0, откуда x = 1 и x = 5. Способы решения есть в теме квадратные уравнения.
- Симметричная точка: для (0; 5) это (6; 5), ведь ось симметрии x = 3. Ещё одна пара: x = 2 и x = 4, в обоих случаях y = −3.
- Отметь точки и проведи плавную кривую без углов.
По этому графику читаются свойства. Убывает на (−∞; 3], возрастает на [3; +∞). Область значений [−4; +∞). Функция положительна при x < 1 и x > 5, отрицательна при 1 < x < 5.
Сдвиги параболы и знаки коэффициентов по графику
Если формула записана как y = a(x − m)² + n, вершина сразу видна: (m; n). Например, у y = −4(x − 3)² + 5 вершина (3; 5), ветви вниз и узкие. У y = −4(x + 2)² − 2 вершина (−2; −2), потому что x + 2 = x − (−2).
Так же работает шаблон y = x². График y = x² + 2 — это та же парабола, поднятая на 2 вверх. График y = (x + 4)² сдвинут на 4 влево. Общий разговор о сдвигах и преобразованиях есть в теме функции и их свойства.
Часто дают график без формулы и просят найти знаки коэффициентов или значение функции. Сначала смотри на ветви (знак a), потом на точку пересечения с Oy (знак c). Если нужно найти значение, например f(3) для f(x) = 2x² + bx + c, подставь в формулу точки графика. Пусть парабола проходит через (0; 1) и (1; −1). Тогда c = 1, а 2 + b + 1 = −1, откуда b = −4. Значит, f(3) = 18 − 12 + 1 = 7.
Пересечение параболы с прямой и значение по графику
Чтобы найти точки пересечения параболы и прямой, приравняй формулы и реши уравнение. Возьмём y = 2x² и y = 50x. Получаем 2x² = 50x, то есть 2x(x − 25) = 0, отсюда x = 0 или x = 25. Подставляем в любую формулу: точки (0; 0) и (25; 1250).
Если у уравнения два корня, точек пересечения две. Если один корень (дискриминант равен 0), прямая касается параболы. Если корней нет, графики не пересекаются. Так решают и задачу, при каких k прямая y = kx − 4 имеет с параболой y = x² одну общую точку: x² − kx + 4 = 0, D = k² − 16 = 0, k = 4 или k = −4.
Значение функции при заданном x находят подстановкой. Обратная задача: при каком x значение равно y₀. Тогда решают уравнение ax² + bx + c = y₀, а на графике проводят горизонталь y = y₀. Промежутки, где функция положительна или отрицательна, потом пригодятся в теме квадратные неравенства.
Где ошибаются чаще всего
- Неверная вершина. Забывают знак: для y = x² + 10x + 24 вершина x₀ = −10 / 2 = −5, а не 5. Проверь, подставив x₀ в формулу.
- Путаница со сдвигом. В y = (x + 4)² парабола уходит влево, а не вправо. Сдвиг по x идёт в сторону, противоположную знаку в скобке.
- Кривая с углом. Парабола в вершине гладкая, она не заостряется. Если по таблице точек получился угол, проверь вычисления.
- Другое название. График квадратичной функции называют параболой. Гипербола — это график y = k / x, и в задачах с формулой y = x² + 10x + 24 строят именно параболу.
Какие задания присылают ученики
По этой теме присылают построение параболы по точкам и по шаблону y = x², схематические графики со сдвигами, задания на свойства функции, пересечение параболы с прямой и нахождение коэффициентов или значения f(x) по рисунку. Такие задания есть в 8–9 классах.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и сверь ход решения. Если нужного нет, сфотографируй своё условие и получи решение с пояснением каждого шага.