Как решать квадратные неравенства: схема из трёх шагов
Квадратное неравенство выглядит так: ax² + bx + c > 0, где вместо > может стоять <, ≥ или ≤, а a ≠ 0. Такие неравенства встречаются в ОГЭ, в области определения корня и дроби, в задачах с параметром.
Схема решения:
- Приравняй левую часть к нулю и найди корни, как в квадратных уравнениях.
- Отметь корни на оси и схематично нарисуй параболу. При a > 0 ветви идут вверх, при a < 0 вниз.
- Выбери части оси, где парабола выше оси (для знака > 0) или ниже (для знака < 0).
При a > 0 знак > 0 даёт два промежутка снаружи корней, а знак < 0 один промежуток между корнями. Как устроена парабола, подробнее в теме квадратичная функция. Скобки зависят от знака: при строгом неравенстве (< или >) корни выколоты и скобки круглые, при нестрогом (≤ или ≥) корни входят в ответ и скобки квадратные.
Решение квадратных неравенств: разбор примера
Решим x² − 7x + 10 ≥ 0.
Шаг 1. Решаем уравнение x² − 7x + 10 = 0. D = 49 − 40 = 9, x₁ = (7 − 3) ÷ 2 = 2, x₂ = (7 + 3) ÷ 2 = 5.
Шаг 2. Коэффициент при x² равен 1, то есть a > 0, ветви вверх. Парабола пересекает ось в точках 2 и 5.
Шаг 3. Нужны значения, где выражение ≥ 0, то есть парабола на оси или выше. Это часть слева от 2 и часть справа от 5. Сами точки 2 и 5 подходят, потому что неравенство нестрогое.
Ответ: x ∈ (−∞; 2] ∪ [5; +∞).
Проверка: при x = 0 получаем 10 ≥ 0, верно. При x = 3 получаем 9 − 21 + 10 = −2, это число в ответ не входит, и правильно.
Когда корней нет или корень один
Если D < 0, парабола не пересекает ось и целиком лежит либо выше, либо ниже её. Неравенство x² + 16 > 0 верно при любом x, ответ: вся числовая прямая. Неравенство x² + 48 < 0 не выполняется ни при каком x, ответ: решений нет, ∅.
Если D = 0, парабола касается оси в одной точке. Возьмём x² − 6x + 9 > 0. Левая часть равна (x − 3)², а квадрат положителен везде, кроме x = 3. Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; +∞). Для знака ≥ ответ был бы «любое число», для < решений нет, для ≤ подходит одно число x = 3.
Если число стоит справа, например 4x² − 20x ≥ −25, сначала перенеси всё влево: 4x² − 20x + 25 ≥ 0. Это (2x − 5)² ≥ 0, верно при любом x.
Метод интервалов, дробные неравенства и системы
Когда слева произведение, разложи его на множители (см. разложение на множители), отметь все корни на оси и расставь знаки по промежуткам.
Пример: (x + 1)(x² − 4x + 3) < 0. Второй множитель равен (x − 1)(x − 3), корни: −1, 1, 3. Справа от 3 все множители положительны, значит там плюс. При переходе через каждый корень знак меняется: на (1; 3) минус, на (−1; 1) плюс, левее −1 минус. Нужен минус. Ответ: (−∞; −1) ∪ (1; 3).
Дробь решается так же, но корни знаменателя всегда выколоты. Пример: (x − 2) ÷ (x − 5) ≤ 0. Точка 2 закрашена, точка 5 выколота. Справа от 5 плюс, на (2; 5) минус, левее 2 плюс. Ответ: [2; 5).
Систему неравенств решай по частям, а в ответ записывай общую часть решений. Например, x + 3 < 0 даёт x < −3 (как в линейных неравенствах), а x² − 4 ≥ 0 даёт x ≤ −2 или x ≥ 2. Общая часть: x < −3.
Где ошибаются чаще всего
- Сокращают дробь и теряют точку. В неравенстве (x² − 7x + 12) ÷ (x − 3) ≤ 0 числитель равен (x − 3)(x − 4). После сокращения остаётся x − 4 ≤ 0, но x = 3 по-прежнему нельзя. Ответ: (−∞; 3) ∪ (3; 4].
- Умножают на выражение с неизвестным. Неравенство x ≤ 25 ÷ x нельзя умножить на x: неизвестно, положителен он или отрицателен. Перенеси всё влево, приведи к общему знаменателю и решай методом интервалов.
- Не меняют знак при умножении на −1. Если a < 0, например −x² + 4 > 0, умножь обе части на −1 и поменяй знак: x² − 4 < 0.
- Путают скобки. Корень знаменателя всегда в круглых скобках, даже при знаке ≤.
- В системе берут объединение вместо пересечения. Нужны только те x, которые подходят всем неравенствам сразу.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это квадратные неравенства с готовым ответом в виде рисунка или списка вариантов, метод интервалов для произведений и дробей, системы неравенств, область определения корня. Бывают задачи про мяч, подброшенный вверх, и неравенства с параметром.
Посмотри список заданий выше: если там есть похожее на твоё, открой его и сравни ход решения со своим. Если не нашёл, сфотографируй своё задание и получишь решение с пояснением каждого шага.