Что такое разложение на множители
Разложить на множители значит записать число или выражение в виде произведения. Для чисел это 12 = 3 × 4, для выражений x² − 9 = (x − 3)(x + 3).
С этой темой встречаются дважды. В 6 классе раскладывают числа на простые множители: нужно разбить число на простые числа, которые делятся только на 1 и на себя. В 7–9 классах раскладывают многочлены, а потом используют это в уравнениях, при сокращении дробей и в задачах на делимость.
Разложение числа на простые множители
Простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее. Единица не простая. Число 2 раскладывать не нужно: оно уже простое, его разложение — просто 2.
Чтобы найти разложение числа на простые множители, делишь его на наименьшее простое число, на которое оно делится, потом делишь результат, и так до единицы. Подсказки: на 2 делятся чётные числа, на 3 делятся числа с суммой цифр, кратной 3, на 5 делятся числа, оканчивающиеся на 0 или 5.
Пример, число 360:
- 360 ÷ 2 = 180
- 180 ÷ 2 = 90
- 90 ÷ 2 = 45
- 45 ÷ 3 = 15
- 15 ÷ 3 = 5
- 5 ÷ 5 = 1
Итог: 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5. Проверка: 8 × 9 × 5 = 360.
Если нужно разложение числа на 2 множителя, достаточно любой пары: 36 = 4 × 9 = 2 × 18 = 6 × 6. Здесь множители необязательно простые.
Как разложить многочлен на множители в 7 классе
Способы пробуют в таком порядке.
- Вынести общий множитель. 6x³ − 9x² = 3x²(2x − 3). Вынеси наибольший общий делитель коэффициентов и наименьшие степени букв.
- Применить формулу. a² − b² = (a − b)(a + b), a² + 2ab + b² = (a + b)², a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²), a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²). Все они есть в теме формулы сокращённого умножения.
- Сгруппировать слагаемые. Когда общего множителя у всего многочлена нет, объедини слагаемые в пары, у которых он есть.
- Разложить трёхчлен. Если ax² + bx + c имеет корни x₁ и x₂, то ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂). Корни находят как в теме квадратные уравнения. Например, x² − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3).
Часто нужно сочетать способы: сначала вынести общий множитель, потом применить формулу. Основы работы с такими выражениями собраны в теме одночлены и многочлены.
Разбор задания: решить уравнение разложением на множители
Решим уравнение x³ + 3x² − 4x − 12 = 0.
Шаг 1. Общего множителя у всех четырёх слагаемых нет, поэтому группируем: (x³ + 3x²) + (−4x − 12) = 0.
Шаг 2. Выносим из каждой группы общее: x²(x + 3) − 4(x + 3) = 0. Скобка (x + 3) повторилась, это признак верной группировки.
Шаг 3. Выносим скобку: (x + 3)(x² − 4) = 0.
Шаг 4. Раскладываем x² − 4 по формуле разности квадратов: (x + 3)(x − 2)(x + 2) = 0.
Шаг 5. Произведение равно нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: x = −3, x = 2, x = −2.
Проверка для x = 2: 8 + 12 − 8 − 12 = 0. Верно.
Где ошибаются чаще всего
- Останавливаются раньше времени. 12 = 3 × 4 ещё не разложение на простые множители, потому что 4 раскладывается дальше: 12 = 2 × 2 × 3. Аналогично с многочленами: в (x + 3)(x² − 4) вторая скобка ещё раскладывается.
- Теряют знак при вынесении минуса. 2x − x² = x(2 − x), а не x(x − 2). Проверяй обратным раскрытием скобок.
- Делят обе части уравнения на общий множитель. В уравнении (x − 4)(x − 5)(x − 6) = (x − 2)(x − 5)(x − 6) нельзя сократить на (x − 5)(x − 6): потеряются корни 5 и 6. Правильно перенести всё в одну сторону и вынести общий множитель: (x − 5)(x − 6)((x − 4) − (x − 2)) = 0.
- Забывают, что единица не простое число. В разложении на простые множители её не пишут.
После разложения полезно перемножить результат и убедиться, что получилось исходное выражение. Это же умение нужно, когда сокращаешь алгебраические дроби.
Какие задания по теме присылают ученики
Чаще всего это уравнения третьей и более высоких степеней, которые решаются группировкой или вынесением общего множителя, например x³ − 13x + 12 = 0 или (3x + 4)³ = 49(3x + 4). Также встречаются прямые задания «разложите на множители» с формулами сокращённого умножения и доказательства делимости выражения.
Найди в списке выше задание, похожее на твоё, и посмотри ход решения. Если похожего нет, сфотографируй своё задание и получи решение с подробными шагами.